1-unconditional basis

[123456]

Cho $(E, ||.||) $ là một không gian định chuẩn n chiều, một cơ sở $e_1,\cdots,e_n $ của E được gọi là 1-unconditional (không biết dịch ra tiếng Việt thế nào) nếu
$||\sum_i\lambda_ie_i||=||\sum_i|\lambda_i|e_i|| $
với mọi $\lambda_1,\cdots,\lambda_n $. Chứng minh rằng nếu $e_1,\cdots,e_n $ là 1-unconditional và $\{\alpha_i\}_1^n, \{\beta_i\}_1^n $ là hai dãy số thỏa mãn $|\alpha_i|\leq |\beta_i|, i=1,\cdots,n $ thì
$||\sum_i\alpha_ie_i||\leq ||\sum_i\beta_ie_i|| $

Dùng công thức đối ngẫu

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Không ai hứng thú với bài toán này à?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Gọi $e_1^*,\cdots,e_n^* $ là cơ sở đối ngẫu của $E^* $, ta chứng minh đây là 1-unconditional basic. Thật vậy, với mọi $\lambda_1,\cdots,\lambda_n\not=0 $ ta có
$||\sum_i\lambda_ie_i^*||=\sup\{|\sum_i\lambda_ie_i ^*(x)|: x\in E, ||x||\leq 1\} $
Giả sử $x=\sum_ia_ie_i $, xét $x'=\sum_isign(\lambda_i)a_i e_i $ thì $||x||=||x'|| $ (do $e_i $ là 1-unconditional basic). Do đó tương ứng $x\to x' $ là một đẳng cấu bảo toàn chuẩn trên E. Áp dụng đẳng cấu này vào đẳng thức đối ngẫu trên ta được
$||\sum_i\lambda_ie_i^*||=||\sum_i|\lambda_i|e_i^*| | $
Chú ý rằng ở trên ta đã giả sử các $\lambda_i\not=0 $. Trong trường hợp tổng quát nếu có $\lambda_i=0 $ thì ta thay bằng $\epsilon > 0 $ sau đó cho $\epsilon\to 0 $ để thu được đẳng thức. Do đó ta đã chỉ ra rằng $e_1^*,\cdots,e_n^* $ là 1-unconditional basic.
Áp dụng lập luận như trên, ta chứng minh được rằng
$||\sum_i|\alpha_i|e_i||=\sup\{\sum_i|\alpha_i|\lam bda_i: \lambda_i\geq 0, ||\sum_i\lambda_ie_i^*||\leq 1\} $
Từ đẳng thức này suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Cái chuẩn $||.|| $ trên E đó của anh được định nghĩa như thế nào trên ánh xạ và đã có 1-unconditional thì có 2-unconditional , p-unconditional hay $\infty $-unconditional như trong $\mathbb{R}^n $ không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]