Chứng minh hàm bị chặn.

[123456]

Cho $(X,\mu) $ là không gian độ đo $\sigma- $hữu hạn và $f $ là hàm đo được, chứng minh rằng nếu $fg\in L_P(\mu) $ với mọi $g\in L_p(\mu) $ thì f là hàm bị chặn.

ps: Muốn tìm một chứng minh đơn giản và đẹp.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi 123456

Cho $(X,\mu) $ là không gian độ đo $\sigma- $hữu hạn và $f $ là hàm đo được, chứng minh rằng nếu $fg\in L_P(\mu) $ với mọi $g\in L_p(\mu) $ thì f là hàm bị chặn.

Mình xin phép giải bài này vậy, mình nghĩ đây là những lý luận khá cơ bản của lý thuyết không gian $L_p $.

Đặt $T: L_p\to L_p $ bởi $Tg=fg $, thì T là tuyến tính, ta chứng minh T bị chặn. Giả sử T không bị chặn, khi đó tồn tại dãy $f_n $ với $||f_n||_p=1 $ và $||Tf_n||_p>n^3 $, đặt
$g=\sum_i\frac{|f_i|}{i^2} $
thì $||g||_p\leq \sum_i\frac{1}{i^2} $ do đó $g\in L_p $ nên $h=sign(f)g\in L_p $ (ở đây $sign(f) $ là hàm dấu của f. Do đó $Th\in L_p $, nhưng
$Th=|f|g\geq \frac{|ff_n|}{n^2}=\frac{|Tf_n|}{n^2} $
với mọi n, do đó $||Th||_p\geq \frac{||Tf_n||_p}{n^2}\geq n $ với mọi n, vô lý vì $Th\in L_p $. Vậy T bị chặn, giả sử $||T||\leq C $, ta chứng minh $|f|\leq C, \mu-ae $, thật vậy, giả sử $\mu(|f|> C) >0 $, do đó tồn tại $\epsilon > 0 $ sao cho $\mu(|f|>C+\epsilon)>0 $, do tính $\sigma $-hữu hạn, nên tồn tại $A\subset \{|f|>C+\epsilon\} $ sao cho $0<\mu(A)<\infty $, xét hàm $g=\frac{\chi_A}{\mu(A)^{1/p}} $ thì $||g||_p=1 $ do đó $||Tg||_p\leq C $, nhưng $|Tg|=|f|g > (C+\epsilon)g $ do đó $||Tg||_p\geq C+\epsilon > C $ vô lý. Vậy $|f|\leq C \mu-ae $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]