Chứng minh công thức xác suất

Ng_Anh_Hoang · 21-09-2014, 05:02 AM

Khi chơi một trò chơi ta có thể đạt được số điểm là một trong các số $A_1,A_2,A_3, ..., A_k, k \in \mathbb{N^*}$. Giả sử $a_i$ là xác suất để đạt được điểm $A_i, i=\overline{1,k}.$ Chứng minh điểm trung bình khi chơi rất nhiều lần là $\displaystyle \sum_{i=1}^{k} a_i A_i$.

Aotrang · 21-09-2014, 11:14 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Ng_Anh_Hoang

Khi chơi một trò chơi ta có thể đạt được số điểm là một trong các số $A_1,A_2,A_3, ..., A_k, k \in \mathbb{N^*}$. Giả sử $a_i$ là xác suất để đạt được điểm $A_i, i=\overline{1,k}.$ Chứng minh điểm trung bình khi chơi rất nhiều lần là $\displaystyle \sum_{i=1}^{k} a_i A_i$.

Đây chẳng phải là công thức tính kì vọng của biến ngẫu nhiên X sao:
$ E(X)=\sum\limits_{i=1}^k A_i.P(X=A_i). $
Kì vọng là đại lượng đặc trưng cho giá trị trung bình.
Vậy ý của bạn là chứng minh công thức tính kì vọng như thế hay là sao?

Ng_Anh_Hoang · 22-09-2014, 01:28 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Aotrang

Đây chẳng phải là công thức tính kì vọng của biến ngẫu nhiên X sao:
$ E(X)=\sum\limits_{i=1}^k A_i.P(X=A_i). $
Kì vọng là đại lượng đặc trưng cho giá trị trung bình.
Vậy ý của bạn là chứng minh công thức tính kì vọng như thế hay là sao?

Ồ thì ra là có công thức gốc

Bạn có thể nói sơ qua cách chứng minh không cảm ơn bạn.

Aotrang · 22-09-2014, 11:14 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Ng_Anh_Hoang

Ồ thì ra là có công thức gốc

Bạn có thể nói sơ qua cách chứng minh không cảm ơn bạn.

Đó là định nghĩa chứ không phải định lí hay bổ đề mà đi chứng minh.
Định nghĩa giống như việc "đặt tên" cho một hành động (một quá trình) nào đó để tiện cho công việc.

**Highschoolmath** · 22-09-2014, 12:55 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Aotrang

Đó là định nghĩa chứ không phải định lí hay bổ đề mà đi chứng minh.
Định nghĩa giống như việc "đặt tên" cho một hành động (một quá trình) nào đó để tiện cho công việc.

Đây không phải là định nghĩa bạn nhé, đây là Định lý Luật số lớn trong trường hợp phân phối Bernouli nhiều chiều. Có thể hiểu đại thể như sau:
Gọi $M $ là số lần chơi đủ lớn nào đó, và sau $M $ lần chơi này ta thấy điểm $A_1 $ xuất hiện $x_1 $ lần, $A_2 $ xuất hiện $x_2 $ lần,....., $A_n $ xuất hiện $x_n $ lần (hiển nhiên $M=x_1+x_2+...+x_n $).
Khi đó xác suất xảy ra sự kiện trên sẽ là:
$P(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{M!}{x_1!x_2!...x_n!}a_1^{ x_1}a_2^{x_2}...a_n^{x_n} $
Vấn đề cần chứng minh sẽ là:
$P \rightarrow 1 $ khi $|(\frac{x_1A_1+x_2A_2+...+x_nA_n}{M})-(a_1A_1+a_2A_2+...+a_nA_n)| \rightarrow 0 $.

Aotrang · 23-09-2014, 11:47 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Highschoolmath

Đây không phải là định nghĩa bạn nhé, đây là Định lý Luật số lớn trong trường hợp phân phối Bernouli nhiều chiều. Có thể hiểu đại thể như sau:
Gọi $M $ là số lần chơi đủ lớn nào đó, và sau $M $ lần chơi này ta thấy điểm $A_1 $ xuất hiện $x_1 $ lần, $A_2 $ xuất hiện $x_2 $ lần,....., $A_n $ xuất hiện $x_n $ lần (hiển nhiên $M=x_1+x_2+...+x_n $).
Khi đó xác suất xảy ra sự kiện trên sẽ là:
$P(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{M!}{x_1!x_2!...x_n!}a_1^{ x_1}a_2^{x_2}...a_n^{x_n} $
Vấn đề cần chứng minh sẽ là:
$\lim_{M \rightarrow +\infty}P=1 $ khi $x_1:x_2:...:x_n=a_1:a_2:....:a_n $.

Mình thấy trong sách giáo khoa lớp 11 và trong cuốn "Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng" trang 47, của tác giả Đặng Hùng Thắng, có định nghĩa về kì vọng là y như bài toán trên mà. Bạn có thể xem trong đó.

**Highschoolmath** · 23-09-2014, 12:34 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Aotrang

Mình thấy trong sách giáo khoa lớp 11 và trong cuốn "Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng" trang 47, của tác giả Đặng Hùng Thắng, có định nghĩa về kì vọng là y như bài toán trên mà. Bạn có thể xem trong đó.

Kỳ vọng thì là một định nghĩa, nhưng việc chứng minh khi thực hiện các phép thử nhiều lần thì các đặc tính thống kê hội tụ về kỳ vọng không phải là một điều hiển nhiên, đó chính là Luật số lớn và chứng minh cũng khá phức tạp. Cái mình đang nói ở đây là bài toán của Thread này, chứng minh bài toán cần phải chú ý đến Luật số lớn, chứ không đơn thuần chỉ là đem định nghĩa kỳ vọng ra để lý luận.

21-09-2014, 05:02 AM	#1
Ng_Anh_Hoang +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: Dải Ngân Hà Bài gởi: 163 Thanks: 256 Thanked 59 Times in 39 Posts	Chứng minh công thức xác suất Khi chơi một trò chơi ta có thể đạt được số điểm là một trong các số $A_1,A_2,A_3, ..., A_k, k \in \mathbb{N^*}$. Giả sử $a_i$ là xác suất để đạt được điểm $A_i, i=\overline{1,k}.$ Chứng minh điểm trung bình khi chơi rất nhiều lần là $\displaystyle \sum_{i=1}^{k} a_i A_i$.