Đề chọn đội tuyển Ninh Bình ngày 1 năm 2014-2015

Saruka 01 · 27-09-2014, 09:00 PM

Bài 1: Cho dãy số $\left ( a_{n} \right ) $ xác định bởi:$a_{1}=1;a_{2}=1 $;$a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n-1}}{n.(n+1)} $.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng.
Bài 2:Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O),có đường cao AH và tâm đường tròn nội tiếp là I.Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai M.Gọi A' là điểm đối xứng với A qua O.Đường thẳng MA' cắt các đường thẳng AH,BC theo thứ tự tại N và K.
1,Chứng minh rằng tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn.
2,Đường thẳng A'I cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D,hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại S.Chứng minh rằng nếu AB+AC =2BC thì I là trọng tâm của tam giác AKS.
Bài 3:Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho nếu $a_{1},a_{2},...,a_{n} $ là n số phân biệt tùy ý được chọn từ tập X={1,2,...,17} ta luôn tìm được số nguyên dương k sao cho phương trình $a_{i}-a_{j}=k $ có ít nhất k nghiệm.
Bài 4: Tìm tất cả các hàm f:$\left ( -1;+\infty \right )\rightarrow \left ( -1;+\infty \right ) $ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1,$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),\forall x>-1,y>-1 $
2,$\frac{f(x)}{x} $ là hàm đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và $(0;+\infty ) $
P/s: Mọi người ai biết làm bài nào thì post lời giải hoặc ý tưởng lên cho e tham khảo với,hôm nay đi thi làm được mỗi bài tổ hợp ,không biết có được vào top ko nữa

thaygiaocht · 28-09-2014, 09:46 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Saruka 01

Bài 2:Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O),có đường cao AH và tâm đường tròn nội tiếp là I.Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai M.Gọi A' là điểm đối xứng với A qua O.Đường thẳng MA' cắt các đường thẳng AH,BC theo thứ tự tại N và K.
1,Chứng minh rằng tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn.
2,Đường thẳng A'I cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D,hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại S.Chứng minh rằng nếu AB+AC =2BC thì I là trọng tâm của tam giác AKS.

Bài hình này cũ rồi.

kinhluannguyen · 28-09-2014, 10:14 AM

Bài hàm dùng điểm bất động. Bài dãy thì có trong sách chuyên khảo dãy số của thầy Nguyễn Tài Chung.

conmeolatui · 28-09-2014, 10:27 AM

Mình không biết phải đáp số bài 3 là n=7 ko vậy bạn??

tson1997 · 28-09-2014, 10:57 AM

1/Có $a_n$ tăng và cminh quy nạp $a_n \leq 2- \frac{2}{n}$ mọi $n \geq 2$

2/
a/ Chứng minh $\widehat{NIK} = 90^o$ bằng cách chỉ ra $MN.MK=MA'.MK=MI^2$
b/Ta có S thuộc trục đẳng phương của đường tròn đường kính IA và đường tròn (BIC)
Mặt khác thì 2 đường tròn này tiếp xúc nhau ở I suy ra SI vuông góc MI hay SI song song MK
Gọi T là giao AI với BC,biến đổi lượng giác ta thu được T là trung điểm MI suy ra SIKM là hình bình hành suy ra T là trung điểm SK
Ta có
$\frac{AI}{AT}=\frac{AB}{BT}=\frac{AB}{\frac{AB.BC }{AB+AC}}=\frac{2}{3}$

Từ 2 điều trên suy ra đpcm

3/Xét tập ${1;3;6;9;13;17}$ thì với mọi k ta đều có phương trình $a_i-a_j=k$ có ít hơn k nghiệm,từ đây suy ra $n \geq 7$
Ta sẽ cmr n=7 thỏa mãn
Xét tập $A$={$a_1;a_2;...;a_7$} với $a_1<a_2<..<a_7$ Giả sử phản chứng rằng với mọi k thì phương trình $a_i-a_j$ có ít hơn k nghiệm,như vậy,trong các hiệu $a_{i+1}-a_{i}$ có tối đa 1 hiệu bằng 2,2 hiệu bằng 3;3 hiệu bằng 4 (i chạy từ 1 đến 6) Như vậy : $a_7-a_1 = \sum^{6}_{i=1} a_{i+1}-a_i \geq 1.2+2.3+3.4=20$ (mâu thuẫn với $a_1;a_2;...;a_7 \in {1;2;3;..;17}$ ) Như vậy giả sử phản chứng sai hay n=7 thỏa mãn Vậy $n_{min}=7$

tranhongviet · 28-09-2014, 11:45 AM

sakura01 bạn post luôn đề ngày 2 đi.

27-09-2014, 09:00 PM	#1
Saruka 01 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2013 Bài gởi: 21 Thanks: 39 Thanked 8 Times in 4 Posts	Đề chọn đội tuyển Ninh Bình ngày 1 năm 2014-2015 Bài 1: Cho dãy số $\left ( a_{n} \right ) $ xác định bởi:$a_{1}=1;a_{2}=1 $;$a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n-1}}{n.(n+1)} $. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng. Bài 2:Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O),có đường cao AH và tâm đường tròn nội tiếp là I.Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai M.Gọi A' là điểm đối xứng với A qua O.Đường thẳng MA' cắt các đường thẳng AH,BC theo thứ tự tại N và K. 1,Chứng minh rằng tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn. 2,Đường thẳng A'I cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D,hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại S.Chứng minh rằng nếu AB+AC =2BC thì I là trọng tâm của tam giác AKS. Bài 3:Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho nếu $a_{1},a_{2},...,a_{n} $ là n số phân biệt tùy ý được chọn từ tập X={1,2,...,17} ta luôn tìm được số nguyên dương k sao cho phương trình $a_{i}-a_{j}=k $ có ít nhất k nghiệm. Bài 4: Tìm tất cả các hàm f:$\left ( -1;+\infty \right )\rightarrow \left ( -1;+\infty \right ) $ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1,$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),\forall x>-1,y>-1 $ 2,$\frac{f(x)}{x} $ là hàm đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và $(0;+\infty ) $ P/s: Mọi người ai biết làm bài nào thì post lời giải hoặc ý tưởng lên cho e tham khảo với,hôm nay đi thi làm được mỗi bài tổ hợp ,không biết có được vào top ko nữa

28-09-2014, 10:27 AM	#4
conmeolatui +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Bài gởi: 20 Thanks: 6 Thanked 12 Times in 4 Posts	Mình không biết phải đáp số bài 3 là n=7 ko vậy bạn?? thay đổi nội dung bởi: conmeolatui, 28-09-2014 lúc 11:01 AM Lý do: ghi nhầm

28-09-2014, 10:57 AM	#5
tson1997 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2012 Đến từ: K46 T1 chuyên SP Bài gởi: 46 Thanks: 42 Thanked 51 Times in 24 Posts	1/Có $a_n$ tăng và cminh quy nạp $a_n \leq 2- \frac{2}{n}$ mọi $n \geq 2$ 2/ a/ Chứng minh $\widehat{NIK} = 90^o$ bằng cách chỉ ra $MN.MK=MA'.MK=MI^2$ b/Ta có S thuộc trục đẳng phương của đường tròn đường kính IA và đường tròn (BIC) Mặt khác thì 2 đường tròn này tiếp xúc nhau ở I suy ra SI vuông góc MI hay SI song song MK Gọi T là giao AI với BC,biến đổi lượng giác ta thu được T là trung điểm MI suy ra SIKM là hình bình hành suy ra T là trung điểm SK Ta có $\frac{AI}{AT}=\frac{AB}{BT}=\frac{AB}{\frac{AB.BC }{AB+AC}}=\frac{2}{3}$ Từ 2 điều trên suy ra đpcm 3/Xét tập ${1;3;6;9;13;17}$ thì với mọi k ta đều có phương trình $a_i-a_j=k$ có ít hơn k nghiệm,từ đây suy ra $n \geq 7$ Ta sẽ cmr n=7 thỏa mãn Xét tập $A$={$a_1;a_2;...;a_7$} với $a_1<a_2<..<a_7$ Giả sử phản chứng rằng với mọi k thì phương trình $a_i-a_j$ có ít hơn k nghiệm,như vậy,trong các hiệu $a_{i+1}-a_{i}$ có tối đa 1 hiệu bằng 2,2 hiệu bằng 3;3 hiệu bằng 4 (i chạy từ 1 đến 6) Như vậy : $a_7-a_1 = \sum^{6}_{i=1} a_{i+1}-a_i \geq 1.2+2.3+3.4=20$ (mâu thuẫn với $a_1;a_2;...;a_7 \in {1;2;3;..;17}$ ) Như vậy giả sử phản chứng sai hay n=7 thỏa mãn Vậy $n_{min}=7$ thay đổi nội dung bởi: tson1997, 28-09-2014 lúc 11:15 AM

28-09-2014, 11:45 AM	#6
tranhongviet +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2013 Đến từ: ha noi Bài gởi: 227 Thanks: 53 Thanked 75 Times in 61 Posts	sakura01 bạn post luôn đề ngày 2 đi. __________________ chim chuột

28-09-2014, 10:14 AM	#3
kinhluannguyen +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2014 Bài gởi: 21 Thanks: 19 Thanked 4 Times in 3 Posts	Bài hàm dùng điểm bất động. Bài dãy thì có trong sách chuyên khảo dãy số của thầy Nguyễn Tài Chung.