Bất biến

[Lucifer1998]

Cho dãy số $1,2,3,...,N$. Mồi lần thay 2 số $a,b$ bất kì bởi số $a-b$. Tìm điều kiện của $N$ để kết quả cuối cùng thu được toàn số 0?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[1110004]

Mỗi lượt thay như vậy số lẻ hoặc giảm 2 hoặc không thay đổi vì vậy để kết quả cuối cùng là $0$ thì trước hết $N$ phải là số chẳn (vì khi đó có số chẳn các số lẻ)

Vậy $N=2^{k}.A$ với $A$ lẻ.

Ta thấy rằng nếu $N=2^{k}.A$với $A$ lẻ lớn hơn một thì sau bước đi đầu tiên ta nhận được số lẻ lần các số lẻ vì vậy dù đi bao nhiêu lần nữa thì kết quả vẫn không được tất cả là $0$
Nếu $N=2^{k}$ ta có cách làm để thỏa yêu cầu là xóa hai số cạnh nhau sau hai bước làm ta sẽ nhận được dãy toàn những số $0$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lucifer1998]

Nguyên văn bởi 1110004

Mỗi lượt thay như vậy số lẻ hoặc giảm 2 hoặc không thay đổi vì vậy để kết quả cuối cùng là $0$ thì trước hết $N$ phải là số chẳn (vì khi đó có số chẳn các số lẻ)

dòng đầu có vấn đề thì phải, nếu N=4k+3 thì ta có 2k+2 số lẻ và 2k+1 số chẵn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[1110004]

Nguyên văn bởi Lucifer1998

dòng đầu có vấn đề thì phải, nếu N=4k+3 thì ta có 2k+2 số lẻ và 2k+1 số chẵn

Bạn đúng rồi hi! sai rồi cám ơn nha! sẽ suy nghĩ lại!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tikita]

Nguyên văn bởi Lucifer1998

Cho dãy số $1,2,3,...,N$. Mồi lần thay 2 số $a,b$ bất kì bởi số $a-b$. Tìm điều kiện của $N$ để kết quả cuối cùng thu được toàn số 0?

Ta có mỗi lần thay đổi số thì tổng tất cả các số trong dãy giảm đi chẵn đơn vị. Vì vậy để số cuối cùng bằng $0$ thì $n(n+1)$ phải chia hết cho $4$ hay $n=4k$ hoặc $n=4k+3$.

• Nếu $n=4k$, thay từng cặp sau $(1,2),(3,4),...,(4k-1,4k)$, ta được $1,1,....,1$(gồm $2k$ số $1$). Thay hai số $1$ bất kỳ thì ta được toàn số $0$.

• Nêua $n=4k+3$, thay các cặp sau $(2,3),(4,5),....,(4k+2,4k+3)$. khi đó còn lại $2k+2$ số $1$, thay tiếp thì còn lại toàn số $0$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]