Phủ tam giác bởi đa giác có tâm đối xứng

Đỗ Minh Khoa · 25-01-2016, 09:29 PM

Cho tam giác $ABC$, được phủ bởi đa giác lồi $(P)$ có tâm đối xứng. Lấy điểm $M$ bất kỳ nằm trong tam giác, các điểm $A',\,B',\,C'$ lần lượt đối xứng với $A,\,B,\,C$ qua $M$. Chứng minh rằng, có ít nhất một trong ba điểm $A',\,B',\,C'$ không nằm ngoài $(P)$.

**tikita** · 28-01-2016, 07:21 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Đỗ Minh Khoa

Cho tam giác $ABC$, được phủ bởi đa giác lồi $(P)$ có tâm đối xứng. Lấy điểm $M$ bất kỳ nằm trong tam giác, các điểm $A',\,B',\,C'$ lần lượt đối xứng với $A,\,B,\,C$ qua $M$. Chứng minh rằng, có ít nhất một trong ba điểm $A',\,B',\,C'$ không nằm ngoài $(P)$.

Tước hết ta có tính chất sau: Cho hình bình hành $ABCD$, $M$ thuộc miền trong tam giác $ABC$, lấy $E,F$ đối xứng lần lượt với $A,B$ qua $M$. Khi đó có ít nhất một điểm $E,F$ thuộc miền trong của hình bình hành.

Trở lại bài toán. Gọi $I$ là tâm đối xúng của $(P)$, khi đó $M$ thuộc ít nhất miền trong của mộ trong các tam giác $IAB,IBC,IAC$. Giả sử $M$ thuộc miền trong của tam giác $IAB$. Gọi $E,F$ lần lượt đối xứng với $A,B$ qua $I$, do $(P)$ có tâm đối xứng là $I$ nên hình bình hành $AFEB$ cũng thuộc $(P)$ và $M$ thuộc miền trong của tam giác $ABE$, theo tính chất ban đầu ta có điều phải chứng minh.