Topic về bất đẳng thức (2)

[hansongkyung]

Bài này hình như là đã được đăng trên THTT.
Cho các số thực không âm $x, y, y $ thỏa mãn $x+y+z=1 $. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{x^2+1}{y^2+1} \le \frac{7}{2} $
Mình thấy dấu bằng lại sảy ra khi $(1; 0; 0) $ nên khó áp dụng được các bđt thông thường, định dùng hàm lồi nhưng thấy chẳng hợp lí gì cả. Xin mọi người chỉ giáo.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Snow Bell]

Nguyên văn bởi hansongkyung

Bài này hình như là đã được đăng trên THTT.
Cho các số thực không âm $x, y, y $ thỏa mãn $x+y+z=1 $. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{x^2+1}{y^2+1} \le \frac{7}{2} $
Mình thấy dấu bằng lại sảy ra khi $(1; 0; 0) $ nên khó áp dụng được các bđt thông thường, định dùng hàm lồi nhưng thấy chẳng hợp lí gì cả. Xin mọi người chỉ giáo.

Giả sử $ x=max(x,y,z) $.Khi đó:
$ VT=\dfrac{x^2+1}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{ 1}{x^2+1}+ \left(\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1} \right) \le x^2+1+y^2+\dfrac{1}{x^2+1}+ \left(\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1} \right) $
$ \le (x^2+1)+(y+z)^2+\dfrac{1}{x^2+1}+1=(x^2+1)+(1-x)^2+\dfrac{1}{x^2+1}+1=2x^2-2x+3+\dfrac{1}{x^2+1} $
Từ giả thiết ta suy ra $ \dfrac{1}{3} \le x \le 1 $
Ta chứng minh:
$$ 2x^2-2x+3+\frac{1}{x^2+1} \le \frac{7}{2} $$
Tương đương:
$$ (1-x)(1-3x-4x^3) \le 0 $$
Điều này hiển nhiên đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hamaianh0405]

Nguyên văn bởi Vinh Phuc

Giả sử $ x=max(x,y,z) $.Khi đó:
$ VT=\dfrac{x^2+1}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{ 1}{x^2+1}+ \left(\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1} \right) \le x^2+1+y^2+\dfrac{1}{x^2+1}+ \left(\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1} \right) $
$ \le (x^2+1)+(y+z)^2+\dfrac{1}{x^2+1}+1=(x^2+1)+(1-x)^2+\dfrac{1}{x^2+1}+1=2x^2-2x+3+\dfrac{1}{x^2+1} $
Từ giả thiết ta suy ra $ \dfrac{1}{3} \le x \le 1 $
Ta chứng minh:
$$ 2x^2-2x+3+\frac{1}{x^2+1} \le \frac{7}{2} $$
Tương đương:
$$ (1-x)(1-3x-4x^3) \le 0 $$
Điều này hiển nhiên đúng.

Sao bạn lại nghĩ ra được đánh giá này
$\frac{z^{2}}{x^{2}+1} \leq z^{2}+2yz $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Snow Bell]

Nguyên văn bởi hamaianh0405

Sao bạn lại nghĩ ra được đánh giá này
$\frac{z^{2}}{x^{2}+1} \leq z^{2}+2yz $

Cái đánh giá ấy phải là như thế này chứ:
$$ 2yz+z^2+1 \ge \frac{1}{z^2+1}+\frac{z^2}{x^2+1} $$
Còn việc chứng minh điều này là sử dụng điều kiện $ x,y,z \ge 0 $ và $ x=max(x,y,z) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]