A diophante equation about exponent

[crystal_liu]

Find all natural numbers pairs $(x,y) $ such as

$2.3^x=5^y+1 $

Hope we can find good solution
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi n.v.thanh

Nếu $x>0 $ thì $3|5^y+1\equiv (-1)^y+1 $.Suy ra $y $ lẻ.

Trong khi $y $ lẻ thì VP nó chia hết cho $4 $ trong khi VT thì không-Mình tin thế.

Tóm lại,bằng niềm tin.chúng ta có phương trình(PT) cho vô nghiệm trên $\mathbb Z_+ $.Cho niềm tin tới vô cùng ta có PT cho thật sư vô nghiệm trên $\mathbb Z_+ $

Mình hy vọng là niềm tin của mình đủ lớn để cái này đúng

Vậy PT có nghiệm $x=y=0 $

Cái thằng này nó nổ bậy quá,tớ xóa bài thằng này rồi,rõ ghét cái thằng.Để tớ thử giải xem :

Dễ có Nếu $x> 1 $ thì $3|5^y+1\equiv (-1)^y+1\rightarrow $ $y $ lẻ

Ta có $v_3(VT)=x $

và $v_3(5^y+1)=v_3(5^y-(-1)^y)=v_3(6)+v_3(y)=v_3(y)+1 $

(Cái này là theo Lifting the Exponent lemma)

Suy ra $x=v_3(y)+1\rightarrow y=3^{x-1}.k\rightarrow A=5^{3^{x-1}.k}+1=2.3^x $ với $k\geq 1 $
Mình cũng sử dụng phương pháp niềm tin

yên tâm là lần này niềm tin có vẻ xịn 99,9%

ta sẽ thấy

$A=5^k.5^{3^{x-1}}>2.3^x $ với $x> 1 $

Cho niềm tin tới vô cùng thì cái này đúng thật.keke.
Vậy pt chỉ có nghiệm $(0,0),(1,1) $

Mình chỉ viết hài tẹo thôi,mọi người đừng chém mình nhé

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[crystal_liu]

What about pairs $(x,y)=(1,1) $ ?.This is a nice problem too

$3^{xy}=xy+1 $

Problem 1 see here
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Nguyên văn bởi crystal_liu

......
Problem:

$3^{xy}=xy+1 $

+) The first, if $x=0 $ then for all $y $;
(If $y=0 $ then we have the same results)
+) Next, we assume $x $ and $y $ neq $ 0 $ then we have:
Let $t:=xy+1\implies 3^{t -1}=t $
$\implies \frac{1}{3}=\frac{t}{3^t}=te^{(-t\ln 3)} $
$\implies \frac{-\ln 3}{3}=(-t \ln 3)e^{(-t\ln 3)} $
$\implies -t \ln 3=\mathfrak{W}(\frac{-\ln 3}{3}) $
$\implies t=-\frac{\mathfrak{W}(\frac{-\ln 3}{3})}{\ln 3}=1+xy $
For $x=a \neq 0 $ arbitrary, therefore, we have:
$y=\left (-\frac{\mathfrak{W}(\frac{-\ln 3}{3})}{\ln 3}-1 \right ) \times( \frac{1}{a}) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

What about pairs $(x,y)=(1,1) $ ?

Nản.Niềm tin của tớ đúng là chỉ xịn 99% @@.
Bài dưới thì hàm mũ tăng nhanh như giá vàng,hàm bên phải thì cũng tăng nhưng mà tăng nhanh như là ...độ giảm của giá xăng.Do đó,..............,hình như đề chả cho $x,y $ là số gì thì phải.Giải bằng niềm tin tiếp à.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[crystal_liu]

Thank you for your solving but i am sorry . (x,y) is natural numbers pairs ..
You can see that it is a Diophante equation ,so i hope we can find a beauty solution
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

$3^a=a+1 $.Mình thề,mình hứa mình đảm bảo bằng niềm tin của mình là khi $a>1 $ thì $3^a>a+1 $.Mình đã nhận xét là giá vàng tăng nhanh hơn độ giảm của giá xăng rồi mà lị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[crystal_liu]

I am sorry because the true problem is
Find all natural pair of numbers $(x,y) $ such that

$3^x=xy+1 $

Ps Please delete my first post
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Ta có $x|3^x-1 $.Xài cấp của một số nguyên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[crystal_liu]

Nguyên văn bởi n.v.thanh

Ta có $x|3^x-1 $.Xài cấp của một số nguyên.

I think it isnot easy like what you say
Please for me a full solution
I used the order of an integer numbers but you only prove that x is a even number .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

I used the order of an integer numbers but you only prove that x is a even number .

_________________Ai là "You" thế?

Gọi $p $ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $x,d $ là cấp của $3 \pmod p. $

Ta có $d|p-1,d|x $ nên d=1 do đó $p|3-1=2 $ hay $p=2 $.Hay $x=2.x_1 $.

Gọi $q $ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $x_1 $ và $m $ là cấp của $3 \pmod q $.Thì $m|q-1,m|x\rightarrow m|x,m<q $.

Nếu $m\neq2 $ thì $m|z $ và $m $ sẽ có ước nguyên tố nhỏ hơn $q $.Vô lý theo cách chọn $q $.

Do đóa $m=2 $ hay $q|3^2-1=8 $.Hay $q=2 $.

Tóm lại ta có $x=2^s $ với $s $ là số nguyên dương nào đó.Nhận thấy $2^s|3^{2^s}-1 $ nên pt cho có nghiệm

$(x,y)=(2^s,\frac{3^{2^s}-1}{2^s}) $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[crystal_liu]

But nvthanh what about $m=2^j $
Ps i can find $x=20,x=40.. $ and x isnot form $2^i $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Mình chịu thua bài này rồi.hix.Làm lâu quá thủng cả mông.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[FunFun]

Chài , xài tiếng anh mới choáng .Hôm nay mới học sự trong sáng của tiếng Việt nữa chứ .
There're infinitely numbers sasitfy that equation .Haiz ,but , this problem is rather easy .I don't know what is the meaning behind this problem because it gives such non-sense family of solutions ( Maybe that's the reason why Thanh was so helpless with it )

Hence, i will just give a sequence and wont comment much about this problem
=.= (In fact, all the n_o of this equation was gave through this sequence below)
$s_1=2^k_1; (k_1>0) $
$p_2| 3^{s_1}-1 ;p_2>p_1 $
$s_2=s_1.p_2^{k_2}(k_2>0) $
...
$p_{n+1}| 3^{s_n}-1 ;p_{n+1}>p_{n} $
$s_{n+1}= s_n.p_{n+1}^{k_{n+1}} $
...
For $k_1;...;k_n,... $ are some positive integer and so does $p_i $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

Bài này tương tự bài $n|3^n+4^n $. Có lẽ rất khó để tìm được 1 công thức tổng quát sơ cấp cho $n $. Một trong những cách xây dựng các giá trị của $n $ tương tự như ở đây.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]