Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2016

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 24-02-2016, 09:32 AM   #1
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,059 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Tiểu trường xuân toán học miền Nam 2016 - Đề kiểm tra số 1

Tiểu trường Xuân toán học miền Nam 2016

Vietnam TST 2016 MOCK Test 1
Ngày thi: 24/2/2016
Thời gian làm bài: 240 phút

Bài 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$

Bài 2.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong (O), ngoại tiếp (I). Gọi (J) là đường tròn Euler và H là trực tâm tam giác. Đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E. Điểm T di động trên (J) và đường thẳng qua T vuông góc với HT cắt (O) ở M, N. Dựng hình bình hành MHNK.
a) Chứng minh rằng K luôn di chuyển trên một đường cố định khi T thay đổi.
b) Đường tròn (S) tiếp xúc ngoài với (J) và tiếp xúc với AB, AC tại X, Y. Gọi Z là trực tâm của tam giác ADE. Chứng minh rằng tứ giác AXZY là hình thoi.
Bài 3.
Một cấp số cộng các số nguyên dương gồm ít nhất 3 số hạng được gọi là chuẩn nếu tích các số hạng của nó là ước số của một số có dạng $ n^2 + 1 $.
a) Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng chuẩn với công sai 12.
b) Chứng minh rằng không tồn tại cấp số cộng chuẩn với công sai 10 và 11.
c) Cấp số cộng chuẩn với công sai bằng 12 có thể có nhiều nhất bao nhiêu số hạng?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to namdung For This Useful Post:
huynhcongbang (24-02-2016)
Old 25-02-2016, 06:04 AM   #2
trungnghia215
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2015
Bài gởi: 6
Thanks: 0
Thanked 2 Times in 2 Posts
Bài 3.
a) Chọn CSC $5, 17, 29, \cdots$.
Khi đó $\left(\frac{-1}{5}\right) = \left(\frac{-1}{17}\right) = \left(\frac{-1}{29}\right) = 1$. Nghĩa là tồn tại $a, b, c$ sao cho với $x \equiv a \pmod{5}$ thì $x^{2} + 1 \vdots 5$ (tương tự cho $17, 29$). Ta có hệ đồng dư:
$$\begin{cases} n\equiv a\pmod{5} \\ n\equiv b\pmod{17} \\ n\equiv c\pmod{29}\end{cases}$$
Do $(5; 17) = (17;29) = (29; 5) = 1$ nên theo định lý thặng dư Trung Hoa tồn tại $n$ để $n^{2} + 1 \vdots 5\times 17\times 29$
b) Gọi 3 số hạng luôn có mặt của dãy là $a, b, c$
Bổ đề 1. Mọi số nguyên dạng $4k + 3$ luôn có ước nguyên tố dạng $4n + 3$.
Bổ đề 2. Khồng tồn tại $p\in \mathbb{P}$ dạng $4k + 3$ sao cho $p\mid n^{2} + 1$ với $n$ tự nhiên nào đó.

TH1. $d = 10$. Giả sử tồn tại thoả có bộ chuẩn với $d = 10$. Nếu $a \equiv 0\pmod{2}$ thì $b, c$ cũng vậy. Do đó $4\mid abc$. Mặt khác, $n^{2} + 1 \equiv 1 \text{hoặc} 2\pmod{4}$. Do đó $abc\nmid n^{2} + 1$.
Nếu $a$ lẻ thì toàn bộ số hạng đều lẻ. Nếu $a \equiv 1\pmod{4}$ thì $b\equiv 3\pmod{4}$. Theo bổ đề 1 tồn tại số nguyên tố dạng $4k + 3$. Do đó $(4k + 2)\mid n^{2} + 1$, vô lí. Nếu $a\equiv 3\pmod{4}$ thì tương tự cũng có điều vô lí.
TH2. $d = 11$. Cũng giả sử ngược lại. Nếu $a \equiv 0\pmod{4}$ thì $4\mid abc$ và ta cũng có điều vô lí. Nếu $a \equiv 2\pmod{4}$ thì $c\equiv 0\pmod{4}$, dẫn đến $4\mid 8\mid abc$, vô lí. Nếu $a \equiv 3\pmod{4}$ thì cũng vô lí. Nếu $a\equiv 1\pmod{4}$ thì $c \equiv 3\pmod{4}$ cũng dẫn đến điều vô lí.
Tóm lại không có bộ chuẩn công sai $10$ hay $11$ (nói chung là không có bộ chuẩn công sai dạng $4k + 2$ hay $4k + 3$).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
trungnghia215 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to trungnghia215 For This Useful Post:
namdung (26-02-2016)
Old 25-02-2016, 09:29 PM   #3
tikita
Administrator

 
Tham gia ngày: Jun 2012
Bài gởi: 157
Thanks: 2
Thanked 83 Times in 53 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi namdung View Post
Tiểu trường Xuân toán học miền Nam 2016

Vietnam TST 2016 MOCK Test 1
Ngày thi: 24/2/2016
Thời gian làm bài: 240 phút

Bài 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$
Ta có $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2) ^2$, nên ta cần chứng minh bất đẳng thức
$$\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \dfrac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)+(a+b+c)\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
Hay
$$1\leq\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c ^2)}}$$
Ta có đẳng thức sau
$$(a+b+c)^2=3[1-\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}](a^2+b^2+c^2)$$
Do đó
$$\dfrac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}=\sqrt{1-\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}}$$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức
$$1\leq\dfrac{t}{2\sqrt{3}}+\sqrt{1-\dfrac{t}{3}}.$$
Với $t=\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a^2+b^2+c^2)}$ và $0\leq t\leq 2$. Mà bất đẳng thức này đúng hiển nhiên. Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tikita is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to tikita For This Useful Post:
namdung (26-02-2016)
Old 25-02-2016, 11:05 PM   #4
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 164
Thanks: 792
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ;210128
Bài 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$
Ta có thể làm triệt để phần chặt hơn của cấu hình này
Chứng minh $k=k_0=3\sqrt{3}-4$ là hằng số nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c>0:$
$$3k(ab+bc+ca)+3 \sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)} \le (k+1)(a+b+c)^2.$$

Khi $k=\sqrt{3}>k_0$ ta có hệ quả
$$\dfrac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b +c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \dfrac{a+b+c}{3}.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
https://www.facebook.com/thaygiaocht
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 27-02-2016, 04:06 PM   #5
tikita
Administrator

 
Tham gia ngày: Jun 2012
Bài gởi: 157
Thanks: 2
Thanked 83 Times in 53 Posts
Vietnam TST 2016 MOCK Test 2
Ngày thi:26/02/2016
Thời gian làm bài: 240 phút

Bài 4.
  1. Cho bảng hình chữ nhật $m \times n$ ô với $m,n$ là các số nguyên dương cho trước. Trên mỗi ô của bảng ta viết $1$ trong các số $0,1,2$ sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột chia hết cho $3$. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu số $1$?
  2. Cho hình hộp chữ nhật $2015 \times 2016 \times 2017$ được tạo thành từ các hình lập phương đơn vị. Trong mỗi hình lập phương đơn vị, ta viết một trong các số $0,1,2$ sao cho tổng các số trong mỗi dài $1 \times 1 \times 1 \times 2017, 1 \times 2016 \times 1$ và $2015 \times 1 \times 1$ chia hết cho $3$. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu số $1$?

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$ bán kính $r$ và có các đường trung tuyến là $AA_1,BB_1,CC_1$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $S$ và giả sử $AS$ cắt $BC$ tại $A_2$. Các điểm $B_2,C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $$\frac{AA_2}{AA_1}+ \frac{BB_2}{BB_1}+ \frac{CC_2}{CC_1} \ge 1+ \frac{4r}{R}.$$

Bài 6. Cho số nguyên dương $n$. Gọi $B^{n+1}$ là tập tất cả các xâu nhị phân độ dài $n+1$, tức là $$B^{n+1}= \left \{ a_na_{n-1} \cdots a_0 \mid a_i \in \{ 0,1 \} \forall i=0,1, \cdots , n \right \}.$$
Với mỗi xâu $a=a_na_{n-1} \cdots a_0$ thuộc $B^{n+1}$ ta gọi $s(a)=a_n+a_{n-1}+ \cdots +a_0 \pmod 2$ là bit kiểm tra của xâu $a$ và $v(a)=a_n2^n+a_{n-1}2^{n-1}+ \cdots + a_1 \cdot 2+a_0$ là giá trị của xâu $a$. Gọi $B_0^{n+1}, B_1^{n+1}$ tương ứng là tập hợp tất cả các xâu nhị phân có độ dài $n+1$ có bit kiểm tra tương ứng là $0$ và $1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k\leq n$, ta có đẳng thức $$\sum_{a \in B_0^{n+1}}(v(a))^k= \sum_{a \in B_1^{n+1}}(v(a))^k.$$

Theo VMF

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tikita is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-02-2016, 03:22 PM   #6
Short_list
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: Tp.HCM
Bài gởi: 85
Thanks: 12
Thanked 79 Times in 32 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi thaygiaocht View Post
Ta có thể làm triệt để phần chặt hơn của cấu hình này
Chứng minh $k=k_0=3\sqrt{3}-4$ là hằng số nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c>0:$
$$3k(ab+bc+ca)+3 \sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)} \le (k+1)(a+b+c)^2.$$
Phần chặt vẫn còn hằng số lớn nhất nữa anh. Ta có $k_0=3+2\sqrt{2}$ là hằng số dương lớn nhất nhất để bất đẳng thức sau đúng
$$\frac{ab+bc+ca+k_0\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a +b+c+k_0\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}.$$
Bài toán 1 của đề thi là trường hợp $k = 1 < k_0.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The Simplest Solution Is The Best Solution
Short_list is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-03-2016, 10:53 AM   #7
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,059 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Đề thi và đáp án 2 ngày của Tiểu trường xuân miền Nam
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf truongxuan2016.pdf (718.6 KB, 333 lần tải)
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to namdung For This Useful Post:
buivantuanpro1 (24-04-2016), huynhcongbang (08-03-2016), Short_list (04-03-2016)
Old 24-04-2016, 02:04 PM   #8
tmp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 143
Thanks: 25
Thanked 17 Times in 14 Posts
Cám ơn T Dũng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tmp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:58 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 72.13 k/81.74 k (11.75%)]