Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 23-11-2010, 04:50 PM   #1
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Chứng minh trực tâm nằm trên đường thẳng

Cho tứ giác $ABCD $ nội tiếp $(O) $ có $AB=AD $. $M,N $ nằm trên cạnh $BC,CD $ sao cho $MN=BM+DN $. $AM,AN $ cắt $(O) $ tại $P,Q $.
Chứng minh rằng trực tâm tam giác $APQ $ nằm trên $MN $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
Ino_chan (22-12-2010), trungnghia168 (08-02-2011)
Old 23-11-2010, 09:56 PM   #2
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi novae View Post
Cho tứ giác $ABCD $ nội tiếp $(O) $ có $AB=AD $. $M,N $ nằm trên cạnh $BC,CD $ sao cho $MN=BM+DN $. $AM,AN $ cắt $(O) $ tại $P,Q $.
Chứng minh rằng trực tâm tam giác $APQ $ nằm trên $MN $
Anh thông cảm em ko biết cách vẽ hình.
Trên tia đối của tia DN lấy E sao cho ED=BM
$\Rightarrow EN=MN $ $(1) $
Lại có $\widehat{ADE}=\widehat{ABM} $
Và $AD=AB $
$\Rightarrow \Delta ADE=\Delta ABM(c.g.c) $
$\Rightarrow AE=AM $
Mà $\Delta AEN $ và $\Delta AMN $ có $AN $ chung, kết hợp với $(1) $ suy ra chúng bằng nhau $(c.c.c) $.
$\Rightarrow \widehat{ANE}= \widehat{ANM}; \widehat{AMN}=\widehat{AEN}=\widehat{AMB} $ $(\Delta ADE=\Delta ABM) $
Bây giờ lấy đối xứng của C qua AQ và AP ta thấy ngay MN chính là đường thẳng Steiner của $\Delta APQ $ nên nó đi qua trực tâm $\Delta APQ $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 23-11-2010 lúc 09:58 PM
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to MathForLife For This Useful Post:
huynhcongbang (24-11-2010), Ino_chan (22-12-2010), phantiendat_hv (23-11-2010)
Old 23-11-2010, 10:02 PM   #3
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Bài toán này có tương đối nhiều cách giải, rất mong các bạn đóng góp thêm các cách giải khác
-------------------------
Cách của mình:

Gọi $H $ là điểm trên $MN $ sao cho $MH=BM,NH=DN $
Cũng làm tương tự bạn MathForLife, ta chứng minh được $H $ đối xứng với $B $ qua $AP $, đối xứng với $D $ qua $AQ $
Gọi $J $ là giao điểm của $AH $ với $(O) $, thì $P,Q $ là trung điểm của cung $BC,DJ $
$\Rightarrow PJ=PB=PH,QJ=QD=QH \Rightarrow H $ đối xứng với $J $ qua $PQ $
$\Rightarrow AH \bot PQ $
Bằng một số phép biến đổi góc đơn giản, ta chứng minh được $B,H,Q $ thẳng hàng $\Rightarrow QH \bot AP $
Vậy $H $ là trực tâm tam giác $APQ $, suy ra đpcm
-------------------------
Để vẽ hình một cách chính xác thì nên bắt đầu từ tam giác $APQ $, sau đó dựng một đường thẳng bất kìa qua trực tâm $H $ của tam giác, cắt $AP,AQ $ tại $MN $, $B,D $ là các điểm đối xứng với $H $ qua $AP,AQ $, $C $ là giao điểm của $BM,DN $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png untitled.PNG (17.9 KB, 113 lần tải)
__________________
M.

thay đổi nội dung bởi: novae, 23-11-2010 lúc 10:27 PM
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
abctom123 (24-11-2010), huynhcongbang (24-11-2010), Ino_chan (22-12-2010), phantiendat_hv (23-11-2010), trungnghia168 (08-02-2011)
Old 23-11-2010, 10:18 PM   #4
phantiendat_hv
+Thành Viên Danh Dự+
 
phantiendat_hv's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Bình Phước.....$ xứ bụi $
Bài gởi: 379
Thanks: 273
Thanked 408 Times in 184 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới phantiendat_hv
Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife View Post
Anh thông cảm em ko biết cách vẽ hình.
Trên tia đối của tia DN lấy E sao cho ED=BM
$\Rightarrow EN=MN $ $(1) $
Lại có $\widehat{ADE}=\widehat{ABM} $
Và $AD=AB $
$\Rightarrow \Delta ADE=\Delta ABM(c.g.c) $
$\Rightarrow AE=AM $
Mà $\Delta AEN $ và $\Delta AMN $ có $AN $ chung, kết hợp với $(1) $ suy ra chúng bằng nhau $(c.c.c) $.
$\Rightarrow \widehat{ANE}= \widehat{ANM}; \widehat{AMN}=\widehat{AEN}=\widehat{AMB} $ $(\Delta ADE=\Delta ABM) $
Bây giờ lấy đối xứng của C qua AQ và AP ta thấy ngay MN chính là đường thẳng Steiner của $\Delta APQ $ nên nó đi qua trực tâm $\Delta APQ $
Đây là hình của bài toán. Cách chứng minh của bạn rất hay, xin cảm ơn!

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg Dat khung 1.jpg (16.3 KB, 110 lần tải)
__________________
Phan Tiến Đạt

thay đổi nội dung bởi: novae, 23-11-2010 lúc 10:30 PM
phantiendat_hv is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to phantiendat_hv For This Useful Post:
abctom123 (24-11-2010), fantatista1995 (23-11-2010), huynhcongbang (24-11-2010), Ino_chan (22-12-2010), trungnghia168 (08-02-2011)
Old 23-11-2010, 10:41 PM   #5
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Thực ra chứng minh hoàn chỉnh đường thẳng Steiner cũng phải khá dài. Cách của anh Novae dễ hiểu hơn đối với các bạn học sinh THCS chưa học về đường thẳng Simson và mở rộng là đường thẳng Steiner.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to MathForLife For This Useful Post:
Ino_chan (22-12-2010), trungnghia168 (08-02-2011)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:00 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 60.86 k/68.51 k (11.16%)]