|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
25-11-2010, 05:52 PM | #1 |
Administrator | Đẳng thức trong tứ diện Cho tứ diện ABCD có $\alpha, \beta, \gamma $ lần lượt là các góc tạo bởi các cặp cạnh đối nhau: AB, CD; AC, BD; AD, BC. Gọi $S_1, S_2, S_3, S_4 $ lần lượt là diện tích của các mặt $ABC, BCD, CDA, DAB $ của tứ diện. Chứng minh rằng: $(AB.CD.\sin \alpha)^2+(AC.BD.\sin \beta)^2+(AD.BC.\sin \gamma)^2 = S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2 $ __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 25-11-2010 lúc 06:00 PM |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
25-11-2010, 05:59 PM | #2 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | Anh kiểm tra lại đề nhé, chính xác phải là $(AB.CD.\sin\alpha)^2+(AC.BD.\sin\beta)^2+(AD.BC. \sin \gamma)^2 = S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2 $ __________________ M. |
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
25-11-2010, 06:01 PM | #3 | |
Administrator | Trích:
À, sẵn tiện bạn novae giải giùm đi! __________________ Sự im lặng của bầy mèo | |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | IMO 2010 (27-11-2010) |
25-11-2010, 06:18 PM | #4 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | Em đổi lại kí hiệu một chút Dựng hình hộp $AB_1DC_1. A_1BD_1C $ ngoại tiếp tứ diện Gọi $S_1,S_2,S_3,S_4 $ là diện tích $BCD,CDA,DAB, ABC $. $Q_1,Q_2,Q_3 $ là diện tích $CC_1DD_1,AB_1DC_1, AA_1CC_1 $. $\alpha,\beta,\gamma $ là số đo góc phẳng nhị diện cạnh $BC,CD,DB $ Đẳng thức trong đề bài tương đương với $Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2= S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2 $ Gọi $h_1,h_2 $ là độ dài các đường cao kẻ từ $B,A $ xuống $CD $, chiếu tứ diện lên một mp vuông góc với $CD $, ta có hình chiếu của tứ diện là một tam giác có độ dài các cạnh là $h_1,h_2, AB\sin (AB;CD) $ Áp dụng định lý cosin, ta có $h_1^2+h_2^2-2h_1h_2 \cos \beta=[AB \sin (AB;CD)]^2 $ $\Rightarrow \left(\frac{1}{2} CD. h_1\right)^2+\left(\frac{1}{2} CD. h_2\right)^2-2\left(\frac{1}{2} CD. h_1\right)\left(\frac{1}{2} CD. h_1\right) \sin \beta= \left[\frac{1}{2} AB. CD. \sin (AB;CD)\right]^2 $ $\Rightarrow S_1^2+S_2^2-2S_1S_2 \cos\beta =Q_1^2 $ Tương tự, ta có $S_1^2+S_4^2-2S_1S_4 \cos\alpha=Q_2^2 $ $S_1^2+S_3^2-2S_1S_3 \cos\gamma=Q_3^2 $ $\Rightarrow 3S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2-2S_1 (S_2 \cos\beta +S_4 \cos\alpha +S_3 \cos\gamma)=Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2 $ Lại có $S_2 \cos\beta +S_4 \cos\alpha +S_3 \cos\gamma=S_1 $ Vậy ta có $S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2=Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2 $ (đpcm) __________________ M. |
The Following 3 Users Say Thank You to novae For This Useful Post: |
27-11-2010, 10:26 AM | #5 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | Vừa check lại kết quả, chính xác phải là $(AB.CD.\sin (AB;CD))^2+(AC.BD.\sin (AC;BD))^2+(AD.BC.\sin (AD;BC))^2 = 4(S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2) $ Còn đẳng thức $Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2= S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2 $ vẫn đúng, vì ta có $2Q_1=AB.CD.\sin (AB;CD) $ Còn một cách chứng minh bằng cách sử dụng tích có hướng: $2S_{ABC}=\left | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right |, 2S_{ABD}=\left | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right |, 2S_{ACD}=\left | \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \right | $ $2S_{BCD}=\left | \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} \right |=\left | \left (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right ) \times \left ( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \right ) \right |=\left | \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} \right | $ $\Rightarrow 4\left( S_{ABC}^2+S_{ABD}^2+S_{ACD}^2+ S_{BCD}^2 \right)=2\left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right)^2+2\left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right)^2+2\left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \right)^2 -2 \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right) \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) -2 \left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \right) \left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} \right) -2 \left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \right) \left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB} \right) $ $(AB.CD.\sin (AB;CD))^2=\left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right)^2=\left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right)^2+\left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right)^2 - 2 \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right) \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) $ $(AC.BD.\sin (AC;BD))^2=\left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} \right)^2=\left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \right)^2+\left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} \right)^2 - 2 \left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \right) \left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} \right) $ $(AD.BC.\sin (AD;BC))^2=\left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB} \right)^2=\left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \right)^2+\left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB} \right)^2 - 2 \left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \right) \left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB} \right) $ Từ đó suy ra đpcm. __________________ M. |
Bookmarks |
|
|