|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
21-04-2015, 01:45 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Ánh xạ tuyến tính liên tục Cho $q,p,r$ là các số thực trong $(1,\infty)$ sao cho $\frac{1}{r}=\frac{1}{q}+\frac{1}{p}$.Cho $g$ thuộc $L^{q}(R^n)$ và đặt $T(u)=ug$ với mọi $u$ trong $L^{p}(R^n)$. Chứng minh $T$ ở trong $L(L^{p}(R^n),L^{r}(R^n))$ và $||T||=||g||_{q}$ __________________ |
21-04-2015, 08:02 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
Dùng bất đẳng thức Holder cho $p/r$ và $q/r$ ta được $$\int |Tu|^r dx = \int |u|^r |g|^r dx \leq \left(\int |u|^p dx\right)^{\frac rp}\, \left(\int |g|^q dx\right)^{\frac rq} = \| u\|_p^r \|g\|_q^ r < \infty.$$ Do đó $Tu \in L^r$ và $\|Tu\|_r \leq \|g\|_q \|u^\|_p.$ Dễ kiểm tra $T$ là toán tử tuyến tính nên $T\in L(L^{p}(R^n),L^{r}(R^n))$. Và từ bất đẳng thức ở trên suy ra $\|T\| \leq \|g\|_q$. Xét hàm $u(x) = g(x) |g(x)|^{\frac qp -1}$ nếu $g(x) \not =0$ và $u(x) =0$ nếu $g(x) = 0$. Khi đó $$\|Tu\|_r = \|g\|_q^{\frac qr},\quad \|u\|_p = \|g\|_q^{\frac qp}.$$ Từ đó suy ra $\|T\| =\|g\|_q$. | |
21-04-2015, 09:25 PM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Trích:
$$\|Tu\|_r = \|g\|_q^{\frac qr},\quad \|u\|_p = \|g\|_q^{\frac qp}.$$ Từ đó suy ra $\|T\| =\|g\|_q$. ------------------------------ Tiện em cũng có 1 bài khá tương tự như thế nhưng $L^r(R^n)$ thay bằng $R$ thì để chứng minh Tu liên tục thì $||Tu||$ sẽ được tính như thế nào anh đề bài khong hề nói? __________________ thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 21-04-2015 lúc 09:44 PM Lý do: Tự động gộp bài | |
22-04-2015, 12:01 AM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
với $u$ là hàm được chọn ở trên. Do $\|T\| \leq \|g\|_q$ (đã chứng minh). Từ đó suy ra $\|T\| = \|g\|_q$. Về câu hỏi sau của bạn thì bạn nên viết rõ ràng đề bài ra | |
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post: | MathForLife (22-04-2015) |
22-04-2015, 12:26 AM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Cho $q,p,$ là các số thực trong $(1,\infty)$ sao cho $1=\frac{1}{q}+\frac{1}{p}$.Cho $g$ thuộc $L^{q}(R^n)$ và đặt $T(u(t))=\int_{R^{n}}u(t)g(t)dt$ với mọi $u$ trong $L^{p}(R^n)$. Chứng minh $T$ ở trong $L(L^{p}(R^n),R)$ và $||T||=||g||_{q}$ Đây anh! __________________ |
22-04-2015, 03:37 AM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
Dùng bất đẳng thức Holder sẽ suy ra $\|T\| \leq \|g\|_q$. Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại thì bạn chọn hàm $u(x) = g(x) |g(x)|$ nếu $g(x)\not=0$ và $u(x) =0$ nếu $g(x) =0$. | |
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post: | MathForLife (07-06-2015) |
22-04-2015, 06:13 AM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Em biết anh nhưng em thắc mắc là ở trong R thì nó sẽ là $|Tu|$ hay là $sup |Tu|$ __________________ |
22-04-2015, 06:56 AM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | |
23-04-2015, 12:50 AM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Cái chỗ này hình như em chưa thông suốt . Để chứng minh $T$ liên tục thì chứng minh khi $||u_n-u||<\delta$ có $||T(u_n)-T(u)||<\epsilon$ Cái $Tu$ đó em hình dung nó là $1$ tuyến tính của hàm $u$ tức là nó vẫn chưa là số anh ạ . Tức ý em là để chứng minh $Tu$ thuộc $L^{r}(R^n)$ thì chuẩn $||T(u(t))||$ như anh nói là $1$ số còn chứng minh nó liên tục thì nó phải là sup. Thực ra mấy cái chỗ này em chưa được dạy. Có gì anh chỉ hộ em __________________ |
23-04-2015, 09:45 AM | #10 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
Với ánh xạ tuyến tính $T: X \to Y$ giữa các không gian định chuẩn $X,Y$ thì tính liên tục tương đương với tính bị chặn nên không cần dùng ngôn ngữ $\epsilon - \delta$ để chứng minh liên tục, chỉ cần chỉ ra $\|Tx\|_Y \leq C \| x\|_X$ là đủ. Quay lại với bài toán của bạn thì ánh xạ $T$ của bạn định nghĩa bởi $$T(u(t)) = \int_{\mathbf{R}^n} u(t) g(t) dt.$$ Bạn để ý kĩ là cái $T(u(t))$ không phụ thuộc vào $t$ (vì tích phân vế phải là 1 số), có thể cách viết $T(u(t))$ làm bạn hiểu nhầm nó phụ thuộc vào $t$ và là một hàm số. Ps: Mình chỉ giải thích được đến đây thôi, nếu bạn chưa hiểu rõ có thể hỏi thêm ai đó có kỹ năng sư phạm tốt hơn mình sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn. | |
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post: | MathForLife (23-04-2015) |
07-06-2015, 09:55 PM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Sau khi chọn u thì làm sao tính được ra $$\frac{\|Tu\|_r}{\|u\|_p} = \|g\|_q$$ hả anh? __________________ |
08-06-2015, 12:05 AM | #12 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Trích:
Thế công thức cụ thể của $u$ là gì? Khi có công thức thì mới biết cần phải tính cái gì. | |
08-06-2015, 01:25 AM | #13 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Em có viết công thức ra và nhân lại nó không bằng nên em mới hỏi anh ạ chứ tới đó thì tự làm được rồi ạ! Chẳng là vì em ngu chứ k phải vì cái lí do kia anh! Bởi bản thân em có làm cũng làm như anh 12345 thôi anh! __________________ |
08-06-2015, 05:05 AM | #14 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Trích:
Chú muốn anh giúp, thì chú viết cụ thể cái công thức chú đang tính toán là gì, để anh nhòm xem có vấn đề gì. Còn nếu chú cứ nghĩ rằng người khác nghĩ chú ngu với đần, thì chú đừng hỏi nữa. Chú nghĩ mấy thằng học giỏi Toán là do chúng nó bẩm sinh giỏi à? Ai cũng phải là thằng ngu trước, rồi mới khôn ra. Nhắc lại: anh không biết $u$ là cái gì, công thức ra sao? Anh không biết, thế nên anh mới hỏi. Vậy thôi. | |
08-06-2015, 08:38 AM | #15 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Trích:
$$||T(u)||=|\int_{R^n} u(t)g(t)dt|$$ $$||u(x)||_{p}=(\int_{R^n} |u(t)|^{p})^{\frac{1}{p}}=(\int_{R^n} |g(t)|g(t)||^{p})^{\frac{1}{p}}$$ $$||g(x)||_{q}=(\int_{R^n} |g(t)|^{q})^{\frac{1}{q}}$$ Giờ em nhân lại nó không bằng nhau anh. $$||T(u)||=||u||_{p}||g||_{q}$$ __________________ thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 08-06-2015 lúc 08:46 AM | |
Bookmarks |
|
|