Chứng minh các đường đồng quy.

Juliel · 28-09-2014, 11:49 AM

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. $E,F$ là tiếp điểm trên $AC,AB$ của $(I)$. Trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ cắt $(I)$ tại $P,Q$. Chứng minh các tiếp tuyến tại $P,Q$ của $(I)$, đường thẳng $EF$ và đường thẳng qua $A$ song song $BC$ đồng quy tại một điểm.

Nvthe_cht. · 28-09-2014, 01:39 PM

Kẻ $AK||BC$, $DI$ cắt $AK, EF$ tại $L,J$.
Khi đó dễ dó $L(FE,JK)=-1$ theo quan hệ phân giác vuông góc.
Do đó: $A(FE,JK)=-1$ từ đây kết hợp với $AK||BC$ ta có $A,J,M$ thẳng hàng.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh rằng: $IK$ vuông góc $AM$ là ta có điều phải chứng minh. Gọi $X$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AI$ với $AM$ thì $XIFE$ nội tiếp $(AI)$ từ $AF=AE$ ta thu được: $XJ$ là phân giác góc $FXE$, kết hợp $X(FE,JK)=-1.$ thì ta thu được $XK$ vuông góc $XJ$ góc cách khác $X,I,K$ thẳng hàng.
Hay $IK$ vuông góc $AM$, đpcm.

28-09-2014, 11:49 AM	#1
Juliel +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2013 Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Bài gởi: 144 Thanks: 109 Thanked 130 Times in 66 Posts	Chứng minh các đường đồng quy. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. $E,F$ là tiếp điểm trên $AC,AB$ của $(I)$. Trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ cắt $(I)$ tại $P,Q$. Chứng minh các tiếp tuyến tại $P,Q$ của $(I)$, đường thẳng $EF$ và đường thẳng qua $A$ song song $BC$ đồng quy tại một điểm.

28-09-2014, 01:39 PM	#2
Nvthe_cht. +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2013 Bài gởi: 69 Thanks: 15 Thanked 36 Times in 24 Posts	Kẻ $AK\|\|BC$, $DI$ cắt $AK, EF$ tại $L,J$. Khi đó dễ dó $L(FE,JK)=-1$ theo quan hệ phân giác vuông góc. Do đó: $A(FE,JK)=-1$ từ đây kết hợp với $AK\|\|BC$ ta có $A,J,M$ thẳng hàng. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh rằng: $IK$ vuông góc $AM$ là ta có điều phải chứng minh. Gọi $X$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AI$ với $AM$ thì $XIFE$ nội tiếp $(AI)$ từ $AF=AE$ ta thu được: $XJ$ là phân giác góc $FXE$, kết hợp $X(FE,JK)=-1.$ thì ta thu được $XK$ vuông góc $XJ$ góc cách khác $X,I,K$ thẳng hàng. Hay $IK$ vuông góc $AM$, đpcm.