|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
17-05-2011, 05:34 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 271 Thanks: 299 Thanked 126 Times in 85 Posts | Tìm giá trị lớn nhất Cho các số $\[a,b,c,d\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]\] $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\[P=\sqrt[3]{abcd}+\sqrt[3]{\left( 1-a \right)\left( 1-b \right)\left( 1-c \right)\left( 1-d \right)}\] $ |
17-05-2011, 07:51 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 570 Thanks: 24 Thanked 537 Times in 263 Posts | Trích:
${\left( {\sqrt[3]{{{a_1}{a_2}{a_3}}} + \sqrt[3]{{{b_1}{b_2}{b_3}}}} \right)^3} \le \left( {{a_1} + {b_1}} \right)\left( {{a_2} + {b_2}} \right)\left( {{a_3} + {b_3}} \right);{a_i},{b_i} \ge 0,{a_i} + {b_i} > 0,i = 1,2,3 $. Thật vậy sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $\sqrt[3]{{\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {b_1}}}\frac{{{a_2}}}{{{a_2} + {b_2}}}\frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {b_3}}}}} \le \frac{1}{3}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {b_1}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_2} + {b_2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {b_3}}}} \right);\\ \sqrt[3]{{\frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}}\frac{{{b_2}}}{{{a_2} + {b_2}}}\frac{{{b_3}}}{{{a_3} + {b_3}}}}} \le \frac{1}{3}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}} + \frac{{{b_2}}}{{{a_2} + {b_2}}} + \frac{{{b_3}}}{{{a_3} + {b_3}}}} \right) $. Sau đó cộng từng vế ta có đpcm. Áp dụng bổ đề trên ta được $P^3\le \left( {a + 1 - a} \right)\left( {b + 1 - b} \right)\left( {cd + \left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right)} \right) = \left( {1 + c\left( {d - 1} \right) + d\left( {c - 1} \right)} \right) \le 1 $ Dấu bằng xảy ra chẳng hạn $a=b=d=d=0 $ thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 17-05-2011 lúc 07:52 PM Lý do: latex | |
The Following User Says Thank You to ThangToan For This Useful Post: | phaituankhan19 (19-05-2011) |
17-05-2011, 10:02 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 280 Thanks: 29 Thanked 361 Times in 123 Posts | Có lẽ chỉ đơn giản thế này Do $$\begin{array}{l} {\rm{ }}d,1 - d \in \left[ {0;1} \right] \\ \Rightarrow P \le \sqrt[3]{{abc}} + \sqrt[3]{{(1 - a)(1 - b)(1 - c)}} \le \frac{{a + b + c}}{3} + \frac{{(1 - a) + (1 - b) + (1 - c)}}{3} = 1 \\ \end{array}$ $ Cách làm này có thể giải bài toán tổng quát sau: Cho $$a_1 ,a_2 ,...,a_n \in \left[ {0;1} \right]$ $ Tìm giá trị lớn nhât của $\[ P = \sqrt[m]{{a_1 a_2 ...a_n }} + \sqrt[m]{{(1 - a_1 )(1 - a_2 )...(1 - a_n )}}{\rm{ }}(m \le n) \] $ |
The Following 3 Users Say Thank You to DaiToan For This Useful Post: |
Bookmarks |
|
|