Bất đẳng thức lượng giác

[ctcaro]

A,Chứng minh với mọi tam giác ABC thì
$\frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{A}{2}}}{A} + \frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}{B} + \frac{{1 + \cos \frac{C}{2}}}{C} > 3\sqrt 3 $
b,Cho x;y>0 và $x + 2y < \frac{{5\pi }}{4} $
chứng minh rằng : $c{\rm{os}}(x + y) < \frac{{{\rm{y}}\sin x}}{{x\sin y}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[th2091]

Nguyên văn bởi ctcaro

A,Chứng minh với mọi tam giác ABC thì
$\frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{A}{2}}}{A} + \frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}{B} + \frac{{1 + \cos \frac{C}{2}}}{C} > 3\sqrt 3 $
b,Cho x;y>0 và $x + 2y < \frac{{5\pi }}{4} $
chứng minh rằng : $c{\rm{os}}(x + y) < \frac{{{\rm{y}}\sin x}}{{x\sin y}} $

b/ gt=>$y<\frac{5\pi}{8}\Rightarrow siny>0 $
bdt cần cm$\Leftrightarrow sinycos(x+y)<\frac{y}{x}sinx\Leftrightarrow\frac{1 }{2}sin(x+2y)-\frac{1}{2}sinx<\frac{y}{x}sinx $
$\Leftrightarrow\frac{1}{2}sin(x+2y)<sinx(\frac{y}{ x}+\frac{1}{2})\Leftrightarrow\frac{sin(x+2y)}{x+2 y}<\frac{sinx}{x} $
Xét hàm số $f(t)=\frac{sint}{t} $ trên $(0;\frac{5\pi}{4} $
$f'(t)=\frac{tcost-sint}{x^2},f''{t)=-xsinx $
Xét dấu f''(t) ta được $f'(t)<0,0<x<\frac{5\pi}{4} $
=> Hàm số nghịch biến trên $(0;\frac{5\pi}{4} $ => ta có dpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]