Tìm k tốt nhất

thaygiaocht · 03-11-2014, 10:42 AM

Tìm số tự nhiên $k>3$ nhỏ nhất sao cho trong $k$ số nguyên bất kỳ ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}}$ có 3 số có tổng chia hết cho 3.

tuankietpq · 03-11-2014, 12:49 PM

Với k=4 có phản ví dụ là 1, 1, 2, 5.
Ta chứng minh k=5 là số nhỏ nhất.
Giả sử 5 số đó là a, b, c, d, e. Xét 3 trường hợp:
Nếu chia 5 số này cho 3 ta chỉ nhận được một số dư thì tổng ba số bất kỳ chia hết cho 3.
Nếu chia 5 số này cho 3 ta nhận được hai số dư. Theo nguyên lý Dirichlet trong ba số a, b, c có hai số cùng dư khi chia cho 3, giả sử đó là a, b, gọi số dư đó là k. Nếu một trong ba số c, d, e chia 3 có số dư là k thì ta có đpcm. Còn ngược lại thì ba số c, d, e thỏa mãn đề bài.
Nếu chia 5 số này cho 3 mà nhận được cả ba số dư giả sử ba số đó là a, b, c thì tổng của a, b, c chia hết cho 3.

03-11-2014, 10:42 AM	#1
thaygiaocht +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts	Tìm k tốt nhất Tìm số tự nhiên $k>3$ nhỏ nhất sao cho trong $k$ số nguyên bất kỳ ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}}$ có 3 số có tổng chia hết cho 3. __________________ https://www.facebook.com/thaygiaocht thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 03-11-2014 lúc 10:44 AM

03-11-2014, 12:49 PM	#2
tuankietpq +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2014 Đến từ: Trên mặt đất, dưới mặt trời Bài gởi: 220 Thanks: 48 Thanked 118 Times in 80 Posts	Với k=4 có phản ví dụ là 1, 1, 2, 5. Ta chứng minh k=5 là số nhỏ nhất. Giả sử 5 số đó là a, b, c, d, e. Xét 3 trường hợp: Nếu chia 5 số này cho 3 ta chỉ nhận được một số dư thì tổng ba số bất kỳ chia hết cho 3. Nếu chia 5 số này cho 3 ta nhận được hai số dư. Theo nguyên lý Dirichlet trong ba số a, b, c có hai số cùng dư khi chia cho 3, giả sử đó là a, b, gọi số dư đó là k. Nếu một trong ba số c, d, e chia 3 có số dư là k thì ta có đpcm. Còn ngược lại thì ba số c, d, e thỏa mãn đề bài. Nếu chia 5 số này cho 3 mà nhận được cả ba số dư giả sử ba số đó là a, b, c thì tổng của a, b, c chia hết cho 3. __________________ Kẻ mạnh đôi khi không phải là kẻ chiến thắng mà kẻ chiến thắng mới là kẻ mạnh.