|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
23-02-2013, 07:10 PM | #1 |
Administrator | Đề thi chọn đội tuyển Olympic Sinh viên của ĐH FPT năm 2013 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC SINH VIÊN ĐẠI HỌC FPT NĂM 2013 Môn Đại số. Bài 1. Tính định thức của ma trận vuông cấp $n$ sau $\left[ \begin{matrix} Bài 2. x+{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\ {{a}_{1}} & x+{{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & x+{{a}_{n}} \\ \end{matrix} \right]$ Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ sao cho $P(x)={{x}^{4}}-(2m+4){{x}^{2}}+{{(m-2)}^{2}}$ là tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc ít nhất là 1. Bài 3. Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có $rank(A)=r.$ Kí hiệu $W$ là không gian các ma trận vuông $X$ cấp $n$ có tính chất $AX=0$. Tính $dimW.$ Bài 4. Cho $A=\left( {{a}_{ij}} \right)$ là ma trận vuông khác 0 cấp $n$ thỏa mãn ${{a}_{ik}}{{a}_{jk}}={{a}_{kk}}{{a}_{ij}}$ với mọi $i,j,k$. Kí hiệu $tr(A)$, vết của ma trận $A$ là tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A.$ a) Chứng minh rằng $tr(A)\ne 0.$ b) Tính đa thức đặc trưng của $A$ theo $tr(A).$ Bài 5. Một ma trận vuông $A$ được gọi là trực giao nếu $A{{A}^{T}}={{A}^{T}}A=I$ với $I$ là ma trận đơn vị có cùng cấp với $A.$ Cho $A,B$ là các ma trận đơn vị trực giao cùng cấp thỏa mãn điều kiện $\det (A)+\det (B)=0.$ Hỏi có thể kết luận $\det (A+B)=0$ được không? Bài 6. Chọn một trong hai câu. 6a. Tính ${{\left[ \begin{matrix} 2013 & 2012 \\ 2012 & 2013 \\ \end{matrix} \right]}^{n}}$. 6b. Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp 2. Giả sử ${{A}^{2}}={{B}^{2}}=0$ và $AB=BA.$ Chứng minh rằng $AB=0.$ Môn Giải tích. Bài 1. a) Chứng minh rằng với mọi $x$ thì $\cos x\le 1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}$. b) Chứng minh rằng $\tan (\sin x)>x$ với $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]$ Bài 2. Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2} \right)^n=\sqrt{ab}$. Bài 3. Cho dãy số $({{a}_{n}})$ được xác định như sau $\left\{ \begin{align} Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn. Tìm giới hạn đó.& {{a}_{1}}=0,{{a}_{2}}=\frac{1}{2}, \\ & {{a}_{n}}=\frac{1}{3}\left( 1+{{a}_{n-1}}+a_{n-2}^{3} \right),n>2 \\ \end{align} \right.$ Bài 4. Tính tích phân sau $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$. Bài 5. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f\left( x+2f(y) \right)=3f\left( xf(y) \right)$ với $x,y\in \mathbb{R}.$ Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x.$ Bài 6. Chọn một trong hai câu. 6a. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1;2]$ và giả sử $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=0}$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $\theta \in \left( 1;2 \right)$ sao cho $\int\limits_{1}^{\theta }{f(x)dx=\theta }f(\theta )$. 6b. Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $\left( 0;+\infty \right)$ và giả sử $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)+2\sqrt{x}{f}'(x) \right)=0$. Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 23-02-2013 lúc 08:27 PM |
23-02-2013, 07:54 PM | #2 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | Trích:
$$ \det(B A^t)=-1, \ \det(A+B) = \det(A A^t + B A^t) = \det(I+BA^t). $$ Đặt $Q=B \cdot A^t$, ta có $Q$ cũng là một ma trận trực giao. Tồn tại một ma trận trực giao $P$ sao cho $P^{-1}QP$ có dạng chính tắc $$ I_p \oplus (-I_q) \oplus \begin{pmatrix} \cos\omega_1 & -\sin\omega_1 \\ \sin\omega_1 & \cos\omega_1 \end{pmatrix} \oplus \cdots \oplus \begin{pmatrix} \cos\omega_r & -\sin\omega_r \\ \sin\omega_r & \cos\omega_r \end{pmatrix}. $$ Vì $\det(Q)=-1$ nên $q$ lẻ. Từ đó ta suy ra $$ \det(I+Q)=\det(I+P^{-1}QP)=0. $$ Vậy ta luôn có $\det(A+B)=0$. __________________ M. | |
The Following 4 Users Say Thank You to novae For This Useful Post: |
23-02-2013, 08:04 PM | #3 |
Administrator | Hix, hồi sáng cũng biết $\det A^T = 1, \det B = -1$ mà tại sao không nghĩ đến $\det A^T B = -1$ nhỉ. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
23-02-2013, 08:25 PM | #4 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts | Lâu ngày thử phát: $|det(A)| = |det(B)| = 1 $ và $det(A) + det(B) = 0 $ nên có thể giả sử $det(A) = 1 = -det(B) $. Đặt $\alpha = det(A + B) $. Ta có $\alpha = det(A+B)det(A^{T}) = det(AA^{T} + BA^{T}) = det( Q) $ với $Q = I + BA^{T} $. Tương tự ta có $-\alpha = det(AB^{T} + BB^{T}) = det(AB^T + I) = det(Q^T) $. Vì $det(Q) = det(Q^{T}) $ nên ta có $\alpha = -\alpha $ hay $\alpha = 0. $ __________________ Traum is giấc mơ. |
The Following 3 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post: |
23-02-2013, 11:04 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts | Nếu $2\alpha=0$ thì $\alpha=0$ à? __________________ T. |
24-02-2013, 03:05 AM | #6 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Heaven Bài gởi: 887 Thanks: 261 Thanked 463 Times in 331 Posts | Bài 1 $$\begin{aligned} \left| \begin{matrix} x+{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\ {{a}_{1}} & x+{{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & x+{{a}_{n}} \\ \end{matrix} \right| &= \left| \begin{matrix} x+a_1 & a_2 & a_3 & \ldots & a_{n-1} & a_n \\ -x & x & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -x & x & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -x & x \end{matrix} \right| \\&= (x+a_1)x^{n-1} + a_2x^{n-1} + \ldots + a_nx^{n-1} \\&= x^n + (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)x^{n-1} \end{aligned} $$ __________________ $\spadesuit $ Only through the pure logic of mathematics can truth be found. |
The Following User Says Thank You to sang89 For This Useful Post: | huynhcongbang (24-02-2013) |
24-02-2013, 04:57 AM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Bài 4b, Do $a_{ik}a_{jk} =a_{kk}a_{ij}$ với mọi $i,j,k$. Lấy tổng theo $k$ ta được $A^tA = tr(A) A$, do đó $A$ là ma trận đối xứng. Gọi $a_1,\cdots, a_n$ là các giá trị riêng của $A$ (tất cả các giá trị riêng này cùng dấu với $tr(A)$). Từ đẳng thức ma trận ở trên ta có $$a_1^2 + \cdots + a_n^2 = \left(a_1 +\cdots +a_n\right)^2$$ Từ đây suy ra tồn tại $i_0$ sao cho $a_i = 0$ với mọi $i\not = i_0$, do đó đa thức đặc trưng của $A$ là $$P(x) = (-1)^n(x^n - tr(A)x^{n-1}).$$ thay đổi nội dung bởi: magician_14312, 24-02-2013 lúc 11:01 AM Lý do: Viết có dấu |
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post: | huynhcongbang (24-02-2013) |
24-02-2013, 07:30 AM | #8 | |||
Administrator | Trích:
Ta có $(tr(A))^2 = (\sum_{i=1}^n a_{ii})^2 = \sum_{i=1}^n (a_{ii})^2 + \sum_{1 \le i, j \le n, i \neq j} a_{ii} a_{jj} = \sum_{i=1}^n (a_{ii})^2 + \sum_{1 \le i, j \le n, i \neq j} a_{ij}^2$. Do đó, $(tr(A))^2 = 0$ khi và chỉ khi $a_{ii} = 0, i = 1, 2,...,n$ và $a_{ij} = 0$ với $1 \le i, j \le n, i \neq j$, tức là $A=0$, mâu thuẫn. Vậy $(tr(A))^2 \neq 0$ hay $tr(A) \neq 0$. Trích:
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=16535 Trích:
- Chứng minh bằng quy nạp rằng dãy số bị chặn bởi 0 và 1. - Chứng minh bằng quy nạp rằng dãy số tăng. Từ đó suy ra giới hạn là $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: congbang_dhsp, 25-02-2013 lúc 12:16 PM Lý do: Tự động gộp bài | |||
24-02-2013, 08:57 AM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
$$x_0 +2f(z) = x_0f(z)$$ hay $x_0 = \frac{2f(z)}{f(z)-1}$. Đặt $y_0 = x_0 +2f(z)$, ta có $f(y_0)=0$, do đó với mọi $x$ thì $f(x) = 3f(0)$, từ đây suy ra $f(x)=0$ với mọi $x$. Bài 6a, Xét hàm số $F(a) = \frac{\int_1^a f(t) dt}{a}$, khi đó $F$ khả vi, liên tục trên $[1,2]$, $F(1) = F(2) = 0$. Áp dụng định lý Rolle, ta được đpcm. Bài 6b, Với mọi $\epsilon > 0$, tồn tại $X$ sao cho $\forall \ x \geq X$ thì $$-\epsilon < f(x) +2\sqrt{x} f'(x) < \epsilon.$$ Xét hàm $g(x) = f(x) -\epsilon$, khi đó $g(x) + 2\sqrt{x}g'(x) < 0$ với mọi $x \geq X$. Bất đẳng thức trên tương đương với $\left(g(x)e^{\sqrt{x}}\right)' <0$. Từ bất đẳng thức này, ta có $$f(x) -\epsilon = g(x) \leq g(X) e^{\sqrt{X} - \sqrt{x}}$$ với mọi $x > X$, cho $x\to\infty$ ta được $$\limsup_{x\to\infty} f(x)\leq \epsilon.$$ Vì $\epsilon > 0$ là tùy ý nên $$\limsup_{x\to\infty} f(x)\leq 0.$$ Tương tự, đặt $h(x) = f(x) +\epsilon$ thì với mọi $x \geq X$ ta có $h(x) + 2\sqrt{x}h'(x) > 0$, hay là $\left(h(x) e^{\sqrt{x}}\right)' >0$, làm như trên ta suy ra $$\liminf_{x\to\infty} f(x) \geq 0.$$ Từ đây suy ra đpcm. thay đổi nội dung bởi: magician_14312, 24-02-2013 lúc 11:08 AM | |
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post: | huynhcongbang (24-02-2013) |
24-02-2013, 10:58 AM | #10 | |
Moderator Tham gia ngày: Jan 2011 Đến từ: Solar System Bài gởi: 367 Thanks: 201 Thanked 451 Times in 220 Posts | Trích:
$$P(\lambda) = (-\lambda)^n + C_1 (-\lambda)^{n-1}+ C_2 (-\lambda)^{n-2} +...+C_n$$ Trong đó, $C_k$ là tổng tất cả các định thức con chính bậc $k$ của A. Sau khi chứng minh được $A$ là ma trận đối xứng, thay $i = j$ vào giả thiết, có được $a_{ik} a_{ik} = a_{kk}a_{ii} \Rightarrow a_{ik} a_{ki} = a_{kk}a_{ii}$, từ đây có được mọi định thức con cấp 2 đều bằng 0. Suy ra $C_2 = C_3 = ... = C_n = 0$, còn $C_1 = tr(A)$. Như vậy, $$P(\lambda) = (-\lambda)^n + tr(A) (-\lambda)^{n-1} = (-1)^n (\lambda^n - tr(A) \lambda^{n-1}).$$ __________________ ...THE MILKY WAY... | |
The Following User Says Thank You to magician_14312 For This Useful Post: | huynhcongbang (24-02-2013) |
24-02-2013, 03:35 PM | #11 |
Administrator | Dựa theo lời giải của các anh và các bạn, mình có làm file đáp án dưới đây. Mọi người xem thử nhé! __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
24-02-2013, 04:05 PM | #12 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
$$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\leq u\leq \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Longrightarrow \frac13 (1 + u + u^3) \geq u.$$ Co the sua nhu sau: $$0 \leq a_n -\frac{a_{n-1}}3 -2\frac{a_{n-1}}3 = \frac13(1-2a_{n-2} +a^3_{n-2}),$$ vi $0 \leq a_{n-2} \leq 1$, do do $a_{n-2} \leq \frac{\sqrt{5}-1}2$. | |
24-02-2013, 11:47 PM | #13 |
Administrator | Dạ, cái này em chọn $u = \frac13 (1 + u + u^3) $ luôn mà anh, vì thế sau khi đánh giá trội các số $u_k, u_{k-1}$ lên thành u thì cái sau là đẳng thức rồi ạ. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|