Đại Số và Lượng Giác: BĐT

tuankietpq · 16-02-2015, 07:45 PM

Ký hiệu:
$\sum{f\left( a,b,c \right)=f\left( a,b,c \right)+f\left( b,c,a \right)+f\left( c,a,b \right)}$ (tổng hoán vị)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\frac{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}+\frac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2}+\frac{2\left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2}\ge 3$
Chú ý rằng $2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}$
Nên bất đẳng thức đã cho được viết lại
$\sum{\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}=\sum{\frac{{ {\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}+\sum{\frac{{ {\left( a-b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}}}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Swcharz ta được:
$\sum{\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}\ge \frac{2{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3}}$
$\sum{\frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}\ge \frac{{{\left( a-b+b-c+a-c \right)}^{2}}}{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3 \right)}=\frac{2{{\left( a-c \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3}}$
Như vậy ta cần chứng minh
$2{{\left( a+b+c \right)}^{2}}+2{{\left( a-c \right)}^{2}}\ge 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3 \right)$
$\Leftrightarrow 2{{\left( a+b+c \right)}^{2}}+2{{\left( a-c \right)}^{2}}\ge 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+{{\left( a+b+c \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2\left( a-b \right)\left( b-c \right)\ge 0$ (*)
Do tính hoán vị của bất đẳng thức nên ta có thể giả sử $b$ nằm giữa $a$, $c$ nên (*) đúng, ta có đpcm.

16-02-2015, 07:45 PM	#2
tuankietpq +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2014 Đến từ: Trên mặt đất, dưới mặt trời Bài gởi: 220 Thanks: 48 Thanked 118 Times in 80 Posts	Ký hiệu: $\sum{f\left( a,b,c \right)=f\left( a,b,c \right)+f\left( b,c,a \right)+f\left( c,a,b \right)}$ (tổng hoán vị) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\frac{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}+\frac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2}+\frac{2\left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2}\ge 3$ Chú ý rằng $2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}$ Nên bất đẳng thức đã cho được viết lại $\sum{\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}=\sum{\frac{{ {\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}+\sum{\frac{{ {\left( a-b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}}}}$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Swcharz ta được: $\sum{\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}\ge \frac{2{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3}}$ $\sum{\frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}\ge \frac{{{\left( a-b+b-c+a-c \right)}^{2}}}{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3 \right)}=\frac{2{{\left( a-c \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3}}$ Như vậy ta cần chứng minh $2{{\left( a+b+c \right)}^{2}}+2{{\left( a-c \right)}^{2}}\ge 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3 \right)$ $\Leftrightarrow 2{{\left( a+b+c \right)}^{2}}+2{{\left( a-c \right)}^{2}}\ge 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+{{\left( a+b+c \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 2\left( a-b \right)\left( b-c \right)\ge 0$ () Do tính hoán vị của bất đẳng thức nên ta có thể giả sử $b$ nằm giữa $a$, $c$ nên () đúng, ta có đpcm. __________________ Kẻ mạnh đôi khi không phải là kẻ chiến thắng mà kẻ chiến thắng mới là kẻ mạnh.