Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 04-08-2011, 11:27 AM   #1
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Topic về nguyên hàm và tích phân

Chào các bạn. Mình thấy dạo này trên diễn đàn xuất hiện khá nhiều các bài BĐT, dường như ngày nào vô diễn đàn cũng đều thấy các chủ đề về BĐT. Theo như mình thấy các bài toán nguyên hàm và tích phân lời giải thường khá cơ bản, phù hợp với nhiều trình độ từ THPT tới ĐH. Do vừa mới học xong THPT nên kiến thức mình nắm chưa được nhiều nhưng cũng xin mạn phép mở 1 topic về chủ đề này, mong mọi người ủng hộ

Lưu ý trước mỗi đề bài các bạn phải ghi rõ bài mấy và bôi đen gạch dưới cho mọi người tiện theo dõi. Đặc trưng của các bài này là lời giải thường không quá dài nên hy vọng các bạn cố gắng trình bày cho ra đáp số cuối cùng. Mình xin bắt đầu bằng 1 bài

Bài 1: Tìm nguyên hàm: $\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to Conan Edogawa For This Useful Post:
Anh Khoa (04-08-2011), congvan (30-11-2012), n.v.thanh (05-08-2011), portgas_d_ace (02-03-2013), sang89 (04-08-2011), vthiep94 (05-09-2011)
Old 04-08-2011, 12:16 PM   #2
Kratos
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Toán 0912, PTNK, Tp.HCM
Bài gởi: 87
Thanks: 25
Thanked 160 Times in 73 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Kratos
Trích:
Nguyên văn bởi Conan Edogawa View Post
Bài 1: Tìm nguyên hàm: $\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} $
Đặt $f=\dfrac{x}{\cos x} $ và $dg = \dfrac{x\cos x}{(\cos x+x\sin x)^2}dx $. Khi đó

$df = \dfrac{\cos x+x\sin x}{cos^2x} $,$g = \dfrac{-1}{\cos x+x\sin x} $.

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có

$\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} = \dfrac{-x}{\cos x(\cos x+x\sin x)} + \int{\dfrac{1}{\cos^2x}dx} = \dfrac{-x}{\cos x(\cos x+x\sin x)} + \tan x + C $

Sau khi rút gọn, ta được

$\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} = \dfrac{\sin x-x\cos x}{\cos x + x\sin x}+C $

Bài 2. Tìm nguyên hàm: $\int{\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Kratos, 04-08-2011 lúc 12:22 PM
Kratos is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to Kratos For This Useful Post:
Conan Edogawa (04-08-2011), n.v.thanh (12-08-2011), phaituankhan19 (26-08-2011), thanhquang0410 (09-11-2011)
Old 05-08-2011, 09:46 AM   #3
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Kratos View Post
Bài 2. Tìm nguyên hàm: $\int{\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx} $
$I=\int{\frac{1+\sin x}{1+\cos x}{{e}^{x}}dx=}\int{\frac{1+\sin x}{1+\cos x}d({{e}^{x}})={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{{{e}^{x}}d\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right)}} $

$={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{{{e}^{x}}\frac{1+\cos x+\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx=}{{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{\frac{{{e}^{x}}dx}{1+\cos x}-}\int{\frac{{{e}^{x}}\sin xdx}{{{(1+\cos x)}^{2}}}} $

Đặt $K=\int{\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}dx,L=\int{\frac{{{e}^{x}}\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx}} $

Xét $ L=\int{\frac{{{e}^{x}}\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx} $

Đặt $\left\{ \begin{align}
& u={{e}^{x}} \\
& dv=\frac{\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& du={{e}^{x}}dx \\
& v=\int{\frac{-d(1+\cos x)}{{{(1+\cos x)}^{2}}}=\frac{1}{1+\cos x}} \\
\end{align} \right. $

$\Rightarrow L=\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-\int{\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}dx=}\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-K $

Vậy $I={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-K-\left( \frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-K \right)+C={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}+C $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to Conan Edogawa For This Useful Post:
cool hunter (25-05-2014), daylight (28-12-2012), kingtrandn97 (14-03-2014), nhox12764 (05-09-2011)
Old 15-01-2013, 12:22 AM   #4
Mai Tuấn Long
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gởi: 3
Thanks: 1
Thanked 4 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Kratos View Post

Bài 2. Tìm nguyên hàm: $\int{\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx} $

Ta có:$\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}$ $=\dfrac{(\tan\frac{x}{2}+1)^2}{2}$

$I=\int\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx$ $=\dfrac{1}{2}\int e^x(\tan\frac{x}{2}+1)^2dx$ $=\dfrac{1}{2}\int e^x(\tan^2\frac{x}{2}+1)dx$ $+\int e^x\tan\frac{x}{2}dx$

$=\int e^xd(\tan\frac{x}{2})$ $+\int e^x\tan\frac{x}{2}dx$ $=e^x\tan\frac{x}{2}-\int e^x\tan\frac{x}{2}dx$ $+\int e^x\tan\frac{x}{2}dx$ $=e^x\tan\frac{x}{2}+C$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mai Tuấn Long is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Mai Tuấn Long For This Useful Post:
hoang_kkk (15-01-2013)
Old 15-01-2013, 09:07 AM   #5
ngocthi0101
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Bài gởi: 110
Thanks: 320
Thanked 20 Times in 16 Posts
tính các tích phân sau

Tính các tích phân sau
Bài 42
$\int\limits_0^1 {\frac{1+x^4}{1+x^6}}dx} $.


Bài 43
$\int\limits_0^1 {\frac{ln(1+x)}{1+x^2}}dx} $.
nguồn đây là 2 câu trong đề thi thử số 2, 3 trong THTT năm 2003
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ngocthi0101 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 15-01-2013, 06:11 PM   #6
portgas_d_ace
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: HCMUS
Bài gởi: 506
Thanks: 160
Thanked 189 Times in 160 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới portgas_d_ace
Trích:
Nguyên văn bởi ngocthi0101 View Post
Tính các tích phân sau
Bài 42
$\int\limits_0^1 {\frac{1+x^4}{1+x^6}}dx} $.


Bài 43
$\int\limits_0^1 {\frac{ln(1+x)}{1+x^2}}dx} $.
nguồn đây là 2 câu trong đề thi thử số 2, 3 trong THTT năm 2003
Bài 42: ta có ${\frac {{x}^{4}+1}{{x}^{6}+1}}= \left( {x}^{2}+1 \right) ^{-1}+{\frac
{{x}^{2}}{{x}^{6}+1}}$ tới đây thì đơn giản rồi
Bài 43: đặt $x=\tan \left( t \right) $ là okê ngay đưa về 1 bài ở trên đã giải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
- Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -
portgas_d_ace is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to portgas_d_ace For This Useful Post:
ngocthi0101 (15-01-2013)
Old 04-08-2011, 10:42 PM   #7
FunFun
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 69
Thanks: 10
Thanked 52 Times in 38 Posts
Bài 2: Không biết nói sao
Nói chung là tách $ \frac{1+sinx}{1+cosx}=g(x)+g'(x) $

$F(x)=2tan(x/2).e^x $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Off zòi .Hẹn gặp lại diễn đàn vào 1 ngày ko xa @@

thay đổi nội dung bởi: leviethai, 04-08-2011 lúc 10:55 PM
FunFun is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-08-2011, 11:40 PM   #8
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi FunFun View Post
Bài 2: Không biết nói sao
Nói chung là tách $ \frac{1+sinx}{1+cosx}=g(x)+g'(x) $

$F(x)=2tan(x/2).e^x $
Mình không khuyến khích bài post kiểu này,với lại mình thực sự chưa hiểu ý bạn là gi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-08-2011, 02:38 AM   #9
man111
+Thành Viên+
 
man111's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 280
Thanks: 152
Thanked 77 Times in 49 Posts
$\int\frac{x^2}{\left(x\sin x+\cos x\right)^2}dx $

Now $\left(x\sin x+\cos x\right)=\sqrt{x^2+1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}. \cos x+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\sin x\right) $

Now Let $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $

and $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $

so $\tan \theta =x\Leftrightarrow \theta =\tan^{-1} x $

$\left(x\sin x+\cos x\right)=\sqrt{x^2+1}\left(\cos x\cos \theta+\sin x\sin \theta\right)=\sqrt{x^2+1}.\cos(x-\theta)=\sqrt{x^2+1}.\cos\left(x-\tan^{-1} x\right) $

$\int\frac{x^2}{\left(x^2+1\right).\cos^2\left(x-\tan^{-1} x\right)}dx $

$\int\sec^2 \left(x-\tan^{-1} x\right).\frac{x^2}{1+x^2}dx $

Now $x-\tan^{-1}x=t\Leftrightarrow \left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=dt\Leftrightarrow \frac{x^2}{1+x^2}dx=dt $

$\int\sec^2 tdt =\tan \left(t\right)+C $

$=\tan\left(x-\tan^{-1} x\right)+C $

$=\frac{\tan x-\tan(\tan^{-1} x)}{1+\tan x.\tan(\tan^{-1} x)}+C $

$=\frac{\tan x- x}{1+x.\tan x}+C $

$=\frac{\sin x-x.\cos x}{\cos x+x.\sin x}+C $
------------------------------
Bài 3: Tìm nguyên hàm: $\displaystyle \int{\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: man111, 05-08-2011 lúc 02:45 AM Lý do: Tự động gộp bài
man111 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to man111 For This Useful Post:
Conan Edogawa (05-08-2011), daylight (28-12-2012), pco (08-01-2012), phaituankhan19 (27-08-2011), thanhquang0410 (09-11-2011)
Old 13-08-2011, 09:34 PM   #10
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi man111 View Post
Bài 3: Tìm nguyên hàm: $\displaystyle \int{\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx} $
This problem does not cause primary function.

Bài 8: Tính tích phân: $I=\int_{1}^{2}{\frac{\sqrt{1+{{x}^{3}}}}{{{x}^{4}} }}dx $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-08-2011, 10:20 PM   #11
maxmin
+Thành Viên+
 
maxmin's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 304
Thanks: 70
Thanked 142 Times in 89 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Conan Edogawa View Post
Bài 8: Tính tích phân: $I=\int_{1}^{2}{\frac{\sqrt{1+{{x}^{3}}}}{{{x}^{4}} }}dx $
$\[I = \int_1^2 {\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} }}{{{x^4}}}} dx = \int_1^2 {\frac{{{x^2}\sqrt {1 + {x^3}} }}{{{x^6}}}dx = \frac{1}{3}\int_1^2 {\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} }}{{{x^6}}}d{x^3} = } } \frac{1}{3}\int_{\sqrt 2 }^8 {\frac{{\sqrt {1 + t} }}{{{t^2}}}dt} \] $
Tiếp
Đặt $\[u = \sqrt {1 + t} \] $
Ta có:
$\[I = \frac{2}{3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{{{u^2}}}{{\left( {1 - {u^2}} \right)}}du = \frac{2}{3}} \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\left[ {\frac{1}{{{{\left( {1 - {u^2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{1 - {u^2}}}} \right]du} \] $
$\[\int {\frac{1}{{{{\left( {1 - {u^2}} \right)}^2}}}du = \int {\left[ {\frac{1}{2}{{\left( {\frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}} \right)}^2}} \right]du} } \] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: maxmin, 13-08-2011 lúc 10:34 PM Lý do: Gộp bài
maxmin is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to maxmin For This Useful Post:
Conan Edogawa (22-08-2011), hamhochoi2011 (15-08-2011), paul17 (17-09-2012)
Old 05-08-2011, 10:48 AM   #12
FunFun
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 69
Thanks: 10
Thanked 52 Times in 38 Posts
.Bài mình xuất phát từ đẳng thức cũ thôi .
$( e^x.f(x))'= e^x( f(x)+f'(x)) $
Và ta có :$ \frac{1+\sin x}{1+\cos x}= \frac{1+\sin x}{2\cos( \frac{x}{2})^2}= 2\tan( \frac{x}{2})+\frac{1}{\tan^2( \frac{x}{2})}=2\tan \left( \frac{x}{2} \right) + \left( 2\tan\left( \frac{x}{2} \right) \right)' $

Vậy nên ta suy ra :$F(x)= 2.\tan\left( \frac{x}{2} \right).e^x+C $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Off zòi .Hẹn gặp lại diễn đàn vào 1 ngày ko xa @@

thay đổi nội dung bởi: novae, 05-08-2011 lúc 10:53 AM
FunFun is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to FunFun For This Useful Post:
daylight (28-12-2012), n.v.thanh (05-08-2011)
Old 09-08-2011, 07:31 AM   #13
ha linh
+Thành Viên+
 
ha linh's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: hà nội
Bài gởi: 81
Thanks: 155
Thanked 19 Times in 12 Posts
$\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right). e^x = \left( \frac{1+\sin x}{ 2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right).e^x
= \frac{e^x }{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + \frac{e^x.\sin\left( \frac{x}{2} \right).\cos\left( \frac{x}{2} \right)}{\cos^2\left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{e^x }{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + e^x .\tan \left( \frac{x}{2} \right) $
Tính tích phân này là ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 09-08-2011 lúc 08:39 AM
ha linh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to ha linh For This Useful Post:
daylight (28-12-2012), nhox12764 (05-09-2011)
Old 13-08-2011, 10:48 AM   #14
Sqrt_e
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Bài gởi: 39
Thanks: 21
Thanked 5 Times in 3 Posts
Cho mình hỏi 2 câu:

Bài 4. Tính tích phân $\int\limits_0^4 {{e^{\sqrt {2x + 1} }}dx} $.
Bài 5. Tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}dx} $.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 13-08-2011 lúc 06:33 PM Lý do: Đánh số bài.
Sqrt_e is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-08-2011, 03:54 PM   #15
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Sqrt_e View Post
Cho mình hỏi 2 câu:

Bài 3. Tính tích phân $I=\int\limits_0^4 {{e^{\sqrt {2x + 1} }}dx} $.
Bài 3 Ngoài cách của chúThanh, chúng ta còn có thể làm như sau:
Đặt $ t=\sqrt {2x + 1} $ ta cóa $t^2=(2x+1)dx $ nên $dx=tdt. $
Vật ta có: $I=\int\limits_1^3 {{e^tt}}dt} $.
$I=te^t|^3_1-e^t|^3_1=... $.OK
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:44 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 120.25 k/137.42 k (12.49%)]