Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 26-06-2012, 07:04 PM   #751
JokerNVT
+Thành Viên Danh Dự+
 
JokerNVT's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Đến từ: Trần Đại Nghĩa high school
Bài gởi: 571
Thanks: 206
Thanked 355 Times in 241 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 5434 View Post
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng ta luôn có
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25 $
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b\geq c $:
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-24(a^2+b^2+c^2)\geq 1 $
Ta có thể viết bất đẳng thức này dưới dạng $f(a)+f(b)+f(c)\geq 1 $ với $f(x)=\dfrac{1}{x}-24x^2 $
Ta chứng minh: $f(b)+f(c)\geq f(\dfrac{b+c}{2}) $
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{4}{b+c}-24(b^2+c^2)+12(b+c)^2\geq 0 $
$\Leftrightarrow (b-c)^2[1-12bc(b+c)]\geq 0 $
Ta chứng minh: $1\geq 12bc(b+c) $
Ta có $a\geq b\geq c\Rightarrow 2a\geq b+c\Rightarrow 2(a+b+c)\geq 3(b+c)\Rightarrow \dfrac{2}{3}\geq b+c $
Áp dụng Cauchy ta có: $12bc(b+c)\leq 3(b+c)^3\leq \dfrac{8}{9}<1 $
Vậy ta có $f(b)+f(c)\geq f(\dfrac{b+c}{2}) $
Việc còn lại là chứng minh $f(a)+f(\dfrac{b+c}{2})\geq 1 $
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}-24a^2+\dfrac{4}{1-a}-12(1-a)^2\geq 1 $
$\Leftrightarrow (a-\dfrac{1}{2})^2(a-\dfrac{1}{3})^2\geq 0 $(đúng)
Bđt đã được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3} $ hoặc $b=c=\dfrac{1}{4}; a=\dfrac{1}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Tú Văn Ninh
JokerNVT is offline  
Old 26-06-2012, 08:47 PM   #752
hansongkyung
+Thành Viên+
 
hansongkyung's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Han Tae Woong - IMO 1998
Bài gởi: 493
Thanks: 108
Thanked 406 Times in 240 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới hansongkyung
Bài này hình như là đã được đăng trên THTT.
Cho các số thực không âm $x, y, y $ thỏa mãn $x+y+z=1 $. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{x^2+1}{y^2+1} \le \frac{7}{2} $
Mình thấy dấu bằng lại sảy ra khi $(1; 0; 0) $ nên khó áp dụng được các bđt thông thường, định dùng hàm lồi nhưng thấy chẳng hợp lí gì cả. Xin mọi người chỉ giáo.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Trương Mạnh Hùng, lớp 12A1, THPT Mai Sơn, Sơn La.
hansongkyung is offline  
Old 26-06-2012, 10:36 PM   #753
Snow Bell
Moderator
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 579
Thanks: 10
Thanked 513 Times in 283 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hansongkyung View Post
Bài này hình như là đã được đăng trên THTT.
Cho các số thực không âm $x, y, y $ thỏa mãn $x+y+z=1 $. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{x^2+1}{y^2+1} \le \frac{7}{2} $
Mình thấy dấu bằng lại sảy ra khi $(1; 0; 0) $ nên khó áp dụng được các bđt thông thường, định dùng hàm lồi nhưng thấy chẳng hợp lí gì cả. Xin mọi người chỉ giáo.
Giả sử $ x=max(x,y,z) $.Khi đó:
$ VT=\dfrac{x^2+1}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{ 1}{x^2+1}+ \left(\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1} \right) \le x^2+1+y^2+\dfrac{1}{x^2+1}+ \left(\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1} \right) $
$ \le (x^2+1)+(y+z)^2+\dfrac{1}{x^2+1}+1=(x^2+1)+(1-x)^2+\dfrac{1}{x^2+1}+1=2x^2-2x+3+\dfrac{1}{x^2+1} $
Từ giả thiết ta suy ra $ \dfrac{1}{3} \le x \le 1 $
Ta chứng minh:
$$ 2x^2-2x+3+\frac{1}{x^2+1} \le \frac{7}{2} $$
Tương đương:
$$ (1-x)(1-3x-4x^3) \le 0 $$
Điều này hiển nhiên đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Snow Bell is offline  
The Following 2 Users Say Thank You to Snow Bell For This Useful Post:
hansongkyung (26-06-2012), TrauBo (26-06-2012)
Old 26-06-2012, 10:57 PM   #754
hamaianh0405
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2012
Bài gởi: 107
Thanks: 59
Thanked 7 Times in 6 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Vinh Phuc View Post
Giả sử $ x=max(x,y,z) $.Khi đó:
$ VT=\dfrac{x^2+1}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{ 1}{x^2+1}+ \left(\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1} \right) \le x^2+1+y^2+\dfrac{1}{x^2+1}+ \left(\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1} \right) $
$ \le (x^2+1)+(y+z)^2+\dfrac{1}{x^2+1}+1=(x^2+1)+(1-x)^2+\dfrac{1}{x^2+1}+1=2x^2-2x+3+\dfrac{1}{x^2+1} $
Từ giả thiết ta suy ra $ \dfrac{1}{3} \le x \le 1 $
Ta chứng minh:
$$ 2x^2-2x+3+\frac{1}{x^2+1} \le \frac{7}{2} $$
Tương đương:
$$ (1-x)(1-3x-4x^3) \le 0 $$
Điều này hiển nhiên đúng.
Sao bạn lại nghĩ ra được đánh giá này
$\frac{z^{2}}{x^{2}+1} \leq z^{2}+2yz $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hamaianh0405 is offline  
Old 26-06-2012, 11:05 PM   #755
Snow Bell
Moderator
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 579
Thanks: 10
Thanked 513 Times in 283 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hamaianh0405 View Post
Sao bạn lại nghĩ ra được đánh giá này
$\frac{z^{2}}{x^{2}+1} \leq z^{2}+2yz $
Cái đánh giá ấy phải là như thế này chứ:
$$ 2yz+z^2+1 \ge \frac{1}{z^2+1}+\frac{z^2}{x^2+1} $$
Còn việc chứng minh điều này là sử dụng điều kiện $ x,y,z \ge 0 $ và $ x=max(x,y,z) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Snow Bell is offline  
Old 27-06-2012, 09:19 AM   #756
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Trong 3 số dương a,b,c thì a là số nhỏ nhất.Tìm max của:
$A=\sqrt[10]{\frac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^{2}}}+\frac{2009}{10}. \sqrt[2009]{\frac{18abc}{(a+b)(a+b+c)^{2}}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì
NguyenThanhThi is offline  
Old 27-06-2012, 09:48 AM   #757
bboy114crew
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: Dòng thời gian...
Bài gởi: 294
Thanks: 290
Thanked 189 Times in 91 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới bboy114crew
Trích:
Nguyên văn bởi kedaumat View Post
Trong 3 số dương a,b,c thì a là số nhỏ nhất.Tìm max của:
$A=\sqrt[10]{\frac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^{2}}}+\frac{2009}{10}. \sqrt[2009]{\frac{18abc}{(a+b)(a+b+c)^{2}}} $
Bài này được chế từ ý tưởng bài Polish MO 2005 có nội dung như sau:Cho a,b,c là các số dương.CMR:

$A=3\sqrt[9]{\frac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^{2}}}+ \sqrt[3]{\frac{6bc}{(a+b)(a+b+c)}} $
Bài này chỉ cần áp dụng AM-GM là ra mà sao bài trên ...

P\s: Hình như nhầm đề thì phải!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: bboy114crew, 27-06-2012 lúc 10:01 AM
bboy114crew is offline  
Old 27-06-2012, 02:49 PM   #758
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi bboy114crew View Post
Bài này được chế từ ý tưởng bài Polish MO 2005 có nội dung như sau:Cho a,b,c là các số dương.CMR:

$A=3\sqrt[9]{\frac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^{2}}}+ \sqrt[3]{\frac{6bc}{(a+b)(a+b+c)}} $
Bài này chỉ cần áp dụng AM-GM là ra mà sao bài trên ...

P\s: Hình như nhầm đề thì phải!
Không nhầm đâu bạn.Đây là đề thi học sinh giỏi minh siêu tâm được mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì
NguyenThanhThi is offline  
Old 28-06-2012, 07:25 AM   #759
bboy114crew
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: Dòng thời gian...
Bài gởi: 294
Thanks: 290
Thanked 189 Times in 91 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới bboy114crew
Trích:
Nguyên văn bởi yamatunga View Post
Bài mới:Chứng minh rằng với x,y,z dương thì:
$\sqrt{3x}+\sqrt{3y}+\sqrt{3z}\geq \sqrt{7y+z-5x}+\sqrt{7z+x-5y}+\sqrt{7x+y-5z} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt {7y + z - 5x} \\
b = \sqrt {7z + x - 5y} \\
c = \sqrt {7x + y - 5z}
\end{array} \right.$

BDT trở thành:

\[\sum {\sqrt {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \ge \sqrt 6 \left( {a + b + c} \right)} \]

BDT này đúng theo $Minkovski$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
bboy114crew is offline  
Old 28-06-2012, 10:46 PM   #760
VYKA
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2012
Bài gởi: 9
Thanks: 8
Thanked 1 Time in 1 Post
Cho $a,b,c>0$ ; $a^2+b^2+c^2=3.$

CMR:$$\sqrt{\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{4c^2}{9}} +\sqrt{\dfrac{1}{b^2+bc+c^2}+ \dfrac{4a^2}{9}}+ \sqrt{\dfrac{1}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{4b^2}{9}}\ge \sqrt{7}.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
VYKA is offline  
Old 30-06-2012, 09:00 AM   #761
5434
+Thành Viên+
 
5434's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2011
Đến từ: no*i ty bă't đâ'u
Bài gởi: 695
Thanks: 121
Thanked 335 Times in 214 Posts
Cho $a,b,c > 0 , n \leq 0 $ hoặc $n \geq 2 $. Cmr
$\frac{a^n}{(a+b)^n}+ \frac{b^n}{(b+c)^n}+\frac{c^n}{c+a)^n} \geq \frac{3}{2^n} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

5434 is offline  
Old 04-07-2012, 10:45 PM   #762
Hoang Nguyen
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 77
Thanks: 25
Thanked 6 Times in 5 Posts
1.Cho n lớn hơn hoặc bằng 2.Giả sử $a_1,a_2...,a_n $ và $b_1,b_2...,b_n $ là 2n số không âm sao cho $\sum^{n}_{i=1}a_i=\sum^{n}_{i=1}b_i=1. $ Đồng thời $b_i\le\frac{n-1}{n} $.CMR
$b_1a_1a_2...a_n+...+a_1a_2...a_{k-1}b_{k}a_{k+1}...a_n+a_1a_2...a_{n-1}b_n \le \frac{1}{n(n-1)^{n-2}} $
2.Giả sử $a_1,a_2...,a_n $ và $b_1,b_2...,b_n $ là 2n số
thưc nằm trong khoảng [1001;2002].Giả sử $\sum^{n}_{i=1}a_i^2=\sum^{n}_{i=1}b_i^2=1. $
CMR:$\sum^{n}_{i=1}\frac{a_i^3}{b_i}\le\frac{17}{10} \sum^{n}_{i=1}a_i^2 $
3.Cho trước n.Tìm m để
$\sum^{n}_{k=1}\frac{m^2+4km}{a_1+a_2+...+a_k}\le 2500\sum^{n}_{k=1}(\frac{1}{a_i}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hoang Nguyen is offline  
Old 17-07-2012, 10:14 AM   #763
hhl
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2012
Bài gởi: 5
Thanks: 11
Thanked 0 Times in 0 Posts
CM
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1 ,\forall a,b,c>0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hhl is offline  
Old 17-07-2012, 10:20 AM   #764
hunterkill17
+Thành Viên+
 
hunterkill17's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Bài gởi: 36
Thanks: 18
Thanked 12 Times in 8 Posts
Các anh ơi, topic này lẫn lộn quá rồi, lại rất nhiều bài tồn đọng, chúng ta nên đóng topic rồi lập topic khác với kỉ luật như bên hình học phẳng, đồng ý chứ anh em
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Fate/Stay Night - Best Anime Ever
And Saber Is My Love

thay đổi nội dung bởi: hunterkill17, 17-07-2012 lúc 10:29 AM
hunterkill17 is offline  
Old 17-07-2012, 11:32 AM   #765
Snow Bell
Moderator
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 579
Thanks: 10
Thanked 513 Times in 283 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hhl View Post
CM
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1 ,\forall a,b,c>0 $
Bài toán này đã được thảo luận trong topic [Only registered and activated users can see links. ].
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Snow Bell is offline  
The Following User Says Thank You to Snow Bell For This Useful Post:
hhl (17-07-2012)
Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:02 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 96.38 k/112.10 k (14.03%)]