Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Logic, Tập Hợp, Toán Rời Rạc

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 06-09-2012, 05:51 PM   #1
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Một số bài tập lý thuyết tập hợp

99 có một số bài tập lý thuyết tập hợp, ACE nào quan tâm thì ta chiến. Mấy bài này không dễ xử lý, nhưng lại quan trọng để chứng minh một số kết quả nền tảng như : mọi cơ sở của không gian vector thì có cùng lực lượng.

Bài 1 : Chứng minh mọi tập vô hạn chứa một tập đếm được vô hạn (có bản số là $\aleph_0$). Ở đây tập vô hạn là tập có cùng lực lượng với một tập con thực sự nào đó của nó (nội dung định lý Dirichlet).

Bài 2 : Chứng minh tích Descartes $\mathbb{N}\times \mathbb{N} \sim \mathbb{N}.$

Bài 3 : Nếu $D$ là tập vô hạn và $E$ là tập hữu hạn, khi đó $card(D) = card(D\cup E).$

Bài 4 : Nếu $\alpha$ là bản số vô hạn (cardinal number), thì $\alpha +\alpha = \alpha$ và $\alpha \alpha = \alpha.$

Bài 5 : Cho hai tập X, Y. Khi đó tồn tại đơn ánh từ X vào Y hoặc từ Y vào X.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to 99 For This Useful Post:
ArchRog (06-09-2012), HCl (06-09-2012)
Old 06-09-2012, 10:03 PM   #2
ArchRog
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: TNH - AG.
Bài gởi: 56
Thanks: 31
Thanked 23 Times in 19 Posts
2/ C1: Thiết lập song ánh dùng hàm ghép cặp Cantor:
$
\pi(m,n) = \frac{1}{2}(m+n)(m+n+1)+n$
C2: Suy ra từ định lí
Nếu $B_{n}=(a_{1},a_{2},...), a_{j} \in A_{j}$ đếm được thì $B_{n}$ đếm được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ArchRog is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ArchRog For This Useful Post:
99 (06-09-2012)
Old 15-09-2012, 01:25 AM   #3
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
99 giải bài 5 cho có tý không khí

Xét tập hợp $E$ gồm các cặp $(B,f)$ trong đó, $B$ là một tập con của $X$ còn $f\colon B\to Y$ là đơn ánh. Giả sử $X, Y$ đều khác rỗng thì tập $E$ vừa định nghĩa khác rỗng.

Trên $E$ ta xác định một quan hệ thứ tự $\leq$ như sau : $(B_1,f_1)\leq (B_2,f_2)$ nếu $B_1\subset B_2$ và $f_1$ là hạn chế của $f_2$ lên $B_1.$

Dễ thấy $(E,\leq)$ thỏa mãn tính chất : mỗi dây chuyền thì có phần tử chặn trên, nên theo bổ đề Zorn, trong $E$ tồn tại phần tử cực đại, ký hiệu là $(B,f).$ Nếu $B = X$ thì bài toán được giải quyết.

Nếu $B\neq X$ thì $f(B)$ phải bằng $Y,$ nếu không ta có thể xây dựng được cặp $(B',f')\in E$ và "lớn" hơn hẳn $(B,f),$ bằng cách bổ sung vào B một phần tử. Và khi $f(B)=Y,$ ta suy ra $card(X)\geq card(Y)$. Đây cũng là điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 99 For This Useful Post:
ArchRog (15-09-2012)
Old 15-09-2012, 03:25 AM   #4
pgviethung
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 142
Thanks: 1
Thanked 68 Times in 54 Posts
Bài 1: Xét $A $ là tập vô hạn và $B $ là tập con thực sự của $A $ sao cho tồn tại song ánh $f: \, A\rightarrow B $.
Theo tiên đề chọn, lấy được 1 phần tử từ tập $A\setminus B $ vì tập này không rỗng.
Lại có $B $ cũng là tập vô hạn vì có song ánh hạn chể $f: \, B \rightarrow f(B) \subset f(A)=B $.
Tiếp tục quá trình trên, chọn được dãy con vô hạn đếm được.
Bài 3: hệ quả bài 1, xây dựng song ánh giữa $\mathcal{N} $ và $\mathcal{N}\cup E $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
pgviethung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to pgviethung For This Useful Post:
ArchRog (15-09-2012)
Old 15-09-2012, 07:47 AM   #5
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,426 Times in 1,374 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi pgviethung View Post
Theo tiên đề chọn, lấy được 1 phần tử từ tập $A\setminus B $ vì tập này không rỗng.
Nội dung tiên đề chọn không phải như vậy anh ạ, nó chỉ khẳng định rằng tích Descartes vô hạn của một họ các tập khác rỗng là khác rỗng thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 15-09-2012, 05:50 PM   #6
pgviethung
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 142
Thanks: 1
Thanked 68 Times in 54 Posts
Thế à, cứ nhớ mang máng là có thể chọn một phần tử từ tập khác rỗng sorry
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
pgviethung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 30-07-2013, 08:49 PM   #7
Ngonkhtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gởi: 60
Thanks: 11
Thanked 16 Times in 15 Posts
Em giải bài 5, nhưng không dùng tiên đề chọn. Chắc không đúng dụng ý của topic, nhưng em thấy nó đơn giản vì ta biết giữa 2 bản số bất kì thì ta luôn có:m=n, m<n, n<m nên bài 5 hiển nhiên. Đang nghĩ bài 1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Ngonkhtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-07-2013, 06:23 AM   #8
ArchRog
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: TNH - AG.
Bài gởi: 56
Thanks: 31
Thanked 23 Times in 19 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Ngonkhtn View Post
Em giải bài 5, nhưng không dùng tiên đề chọn. Chắc không đúng dụng ý của topic, nhưng em thấy nó đơn giản vì ta biết giữa 2 bản số bất kì thì ta luôn có:m=n, m<n, n<m nên bài 5 hiển nhiên. Đang nghĩ bài 1
Không đơn giản đến thế đâu bạn, 3 trường hợp bạn nêu lên là tính chất của thứ tự hoàn toàn, phải đi chứng minh tập các bản số là tập sắp tốt mới có.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ArchRog is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
bổ đề zorn, tiên đề chọn

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:52 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 66.13 k/75.50 k (12.41%)]