Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 28-01-2018, 11:26 AM   #1
hung.vx
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 32
Thanks: 0
Thanked 9 Times in 5 Posts
Bất phương trình hàm $f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy).$

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho

$$f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy),\forall x,y\in\mathbb{R}.$$



Kosovo Mathematical Olympiad 2018

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hung.vx is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-01-2018, 02:33 PM   #2
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 72
Thanks: 1
Thanked 48 Times in 36 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hung.vx View Post
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho

$$f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy),\forall x,y\in\mathbb{R}.$$



Kosovo Mathematical Olympiad 2018
Đặt $f(0)=k$ và gọi $P(x;\,y)$ là mệnh đề $f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy)$, do $P(0;\,x)$ đúng với mọi $x$ nên
\[f\left( x \right) + kx \le f\left( x \right) + k\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
Do bất phương trình $kx\le x$ đúng với mọi $x\in\mathbb R$ nên $k=0$, lại từ $P(x;\,0)$ đúng với mọi $x$ vì thế có
\[f\left( x \right) \le x + 2k = x\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(1).\]
Với việc $P(x;\,-x)$ đúng với mọi $x$ có
\[ - xf\left( x \right) \le x + f\left( { - x} \right) + f\left( { - {x^2}} \right) \le x + \left( { - x} \right) + \left( { - {x^2}} \right) = - {x^2}\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(2).\]
Từ $(1)$ và $(2)$ có $f(x)=x\quad\forall\,x>0$, ta lại có $P\left(\sqrt{-x};\,-\sqrt{- x}\right)$ đúng với mọi $x<0$ vì vậy
\[x = - \sqrt { - x} f\left( {\sqrt { - x} } \right) \le \sqrt { - x} + f\left(- {\sqrt { - x} } \right) + f\left( x \right) \le f\left( x \right)\quad\forall\,x<0.\]
Điều này kết hợp với $(1)$ để có $f(x)=x\quad\forall\,x<0$, và vì vậy
\[f(x)=x\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài