Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tổ Hợp > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 25-08-2010, 10:14 AM   #1
leledaiquang
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Đến từ: Soc Trang
Bài gởi: 12
Thanks: 4
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bài số học khó

Có ai giúp mình với, không suy nghĩ ra cách giải.

1. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố dạng 4k+3 và q=2p+1 cũng là số nguyên tố thì $q | M_p $ với $M_p = 2^p - 1 $
2. Chứng minh $47 | M_{11} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leledaiquang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-08-2010, 12:47 AM   #2
lady_kom4
+Thành Viên+
 
lady_kom4's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: CSP_Xuân Thủy
Bài gởi: 152
Thanks: 142
Thanked 128 Times in 78 Posts
Đây là kiến thức về số chính phương mod $p $
Vì $p = 4k +3 $ nên $q = 8k +7 \Rightarrow (\frac{2}{q}) = 1 \Rightarrow 2^{\frac {q-1}{2}} \equiv 1 (q) \Rightarrow q | 2^p -1 $
Mình dùng máy tính thì thấy $2^{11} -1 $ đâu có chia hết cho $47 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
lady_kom4 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to lady_kom4 For This Useful Post:
daylight (10-09-2010), huynhcongbang (28-08-2010), leledaiquang (28-08-2010)
Old 27-08-2010, 10:07 PM   #3
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,397
Thanks: 2,158
Thanked 4,147 Times in 1,367 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Bài này mình thấy có thể giải bằng cách dùng các định lí quen thuộc thế này:
Do $q=2p+1 $ là số nguyên tố nên theo định lí Euler: $2^{\varphi (q)}\equiv 1(modq) $.
Hơn nữa: $\varphi (q)=q-1=2q $, suy ra:
$2^{2p}\equiv 1(modq)\Rightarrow (2^{2p}-1)\vdots q\Rightarrow (2^p-1)(2^p+1)\vdots q $.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $2^p+1 $ không chia hết cho $2p+1 $. Thật vậy:
Giả sử ngược lại, tồn tại h nguyên dương sao cho $2^p+1=h(2p+1) $, dễ thấy:
$2^p=2^{4k+3}=8.16^k\equiv 2(mod3)\Rightarrow 2^p+1\vdots 3 $, do đó h chia hết cho 3.
Theo định lí Fermat nhỏ thì: $2^p - 2 $ chia hết cho p, đặt
$2^p-2=m.p\Rightarrow 2^p=mp+2 $, ta cũng có m chia hết cho 3; ta được:
$h(2p+1)-1=mp+2\Leftrightarrow p(2h-m)+h=3 $.
Do p là số nguyên tố có dạng $4k+3 $ nên $p \ge 3 $, từ đó suy ra đẳng thức trên không thể xảy ra, tức là: $2^p+1 $ không chia hết cho $2p+1 $ hay $2^p-1 $ chia hết cho q. Ta có đpcm.

Câu 2 có thể là 1 ứng dụng trực tiếp của câu 1 nhưng cần phải có là:
$47|M_{23} $ hoặc $23|M_{11} $ chứ không phải là $47|M_{11} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 28-08-2010 lúc 12:36 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
daylight (10-09-2010), leledaiquang (28-08-2010)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:22 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 46.04 k/51.14 k (9.97%)]