Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 22-12-2010, 07:28 PM   #1
Jumong4958
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 42
Thanks: 7
Thanked 1 Time in 1 Post
Phương trình hàm trên tập số thực

Tìm tất cả các hàm $f: R \rightarrow R $ thỏa mãn:
$f(xf(x) + f(y))= y+f^2(x) \forall x,y\in R $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Jumong4958 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-12-2010, 11:06 PM   #2
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Jumong4958 View Post
Tìm tất cả các hàm $f: R \rightarrow R $ thỏa mãn:
$f(xf(x) + f(y))= y+f^2(x) \forall x,y\in R $
Từ hệ thức đã cho dễ dàng suy ra f là song ánh.
Từ đó $\exists a:f(a)=0 $. Thay a vào x:
$f(f(y))=y $ $\forall y \in R $
Lại thay x bởi f(x):
$f(f(x)f(f(x))+f(y))=y+f^2(f(x)) $
Hay $f(xf(x)+f(y))=y+x^2 $
Kết hợp với đề bài suy ra: $f^2(x)=x^2 $ $\forall x\in R $
Giả sử tồn tại b sao cho $f(b)=-b $. Thay b vào x trong đề bài:
$f(-b^2+y)=y+b^2 $
Suy ra: $f(x)=x+2b^2 $ $\forall x\in R $
Thay vào đề có được b=0
Vậy $f(x)=x $. Kiểm tra lại thấy hàm này thoả đề.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to MathForLife For This Useful Post:
avip (23-12-2010)
Old 24-12-2010, 10:26 AM   #3
cuthangbo
+Thành Viên+
 
cuthangbo's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Earth
Bài gởi: 79
Thanks: 17
Thanked 17 Times in 15 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife View Post
Từ hệ thức đã cho dễ dàng suy ra f là song ánh.
Từ đó $\exists a:f(a)=0 $. Thay a vào x:
$f(f(y))=y $ $\forall y \in R $
Lại thay x bởi f(x):
$f(f(x)f(f(x))+f(y))=y+f^2(f(x)) $
Hay $f(xf(x)+f(y))=y+x^2 $
Kết hợp với đề bài suy ra: $f^2(x)=x^2 $ $\forall x\in R $
Giả sử tồn tại b sao cho $f(b)=-b $. Thay b vào x trong đề bài:
$f(-b^2+y)=y+b^2 $
Suy ra: $f(x)=x+2b^2 $ $\forall x\in R $
Thay vào đề có được b=0
Vậy $f(x)=x $. Kiểm tra lại thấy hàm này thoả đề.
Sao dễ dàng được, dựa vào đâu mà nói là song ánh???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
cuthangbo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-12-2010, 10:28 AM   #4
Highschoolmath
Moderator
 
Highschoolmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần
Bài gởi: 698
Thanks: 247
Thanked 350 Times in 224 Posts
Cái chỗ mà cu nói là "dễ dàng" đó chính là chỗ khó nhất của bài này đấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
As long as I live, I shall think only of the Victory......................
Highschoolmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-12-2010, 12:08 PM   #5
kryptios
+Thành Viên+
 
kryptios's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Bài gởi: 64
Thanks: 20
Thanked 37 Times in 23 Posts
Nếu tồn tại $y_1,y_2 $ sao cho $f(y_1)=f(y_2) $ thay vào pt thì $y_1=y_2 $=>f đơn ánh.
cho x=0 thì $f(f(y))=y+f^2(0) $.cho y chạy =>hàm số toàn ánh=.song ánh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
...kryptios is...kryptos..
kryptios is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-12-2010, 01:08 PM   #6
sang89
Moderator
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 887
Thanks: 261
Thanked 462 Times in 331 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi cuthangbo View Post
Sao dễ dàng được, dựa vào đâu mà nói là song ánh???
Thật ra chỉ cần cho y chạy bên vế trái thì f hiển nhiên là song ánh. Nói cách khác, vế trái là tuyến tính theo y.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
sang89 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-12-2010, 09:13 PM   #7
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kryptios View Post
Nếu tồn tại $y_1,y_2 $ sao cho $f(y_1)=f(y_2) $ thay vào pt thì $y_1=y_2 $=>f đơn ánh.
cho x=0 thì $f(f(y))=y+f^2(0) $.cho y chạy =>hàm số toàn ánh=.song ánh
Em cũng chứng minh song ánh theo cách này. Em thấy phần này cơ bản mà!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 25-12-2010, 02:46 PM   #8
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife View Post
Từ hệ thức đã cho dễ dàng suy ra f là song ánh.
Từ đó $\exists a:f(a)=0 $. Thay a vào x:
$f(f(y))=y $ $\forall y \in R $
Lại thay x bởi f(x):
$f(f(x)f(f(x))+f(y))=y+f^2(f(x)) $
Hay $f(xf(x)+f(y))=y+x^2 $
Kết hợp với đề bài suy ra: $f^2(x)=x^2 $ $\forall x\in R $
Giả sử tồn tại b sao cho $f(b)=-b $. Thay b vào x trong đề bài:
$f(-b^2+y)=y+b^2 $
Suy ra: $f(x)=x+2b^2 $ $\forall x\in R $
Thay vào đề có được b=0
Vậy $f(x)=x $. Kiểm tra lại thấy hàm này thoả đề.
Bài làm này ra thiếu hàm rồi bạn, còn một hàm thỏa là $f(x)=-x $. Lỗi sai ở đây là chỗ này:
Trích:
Giả sử tồn tại b sao cho $f(b)=-b $. Thay b vào x trong đề bài:
$f(-b^2+y)=y+b^2 $
Nếu đúng phải là $f(-b^2+f(y))=y+b^2 $.

Tuy nhiên vẫn có thể giải tiếp như sau:
Ta có $f^2(x)=x^2 $, suy ra $f(1)=1,f(1)=-1 $.
Từ phương trình hàm ban đầu, bình phương 2 vế, ta được
$f^2(xf(x)+f(y))=(y+f^2(x))^2 $
Sử dụng dữ kiện $f^2(x)=x^2 $, có thể thấy ngay điều trên tương đương với
$yf^2(x)=f(y)xf(x) $
Thay $x=1 $, ta có ngay 2 hàm thỏa. $\hfill \Box $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to leviethai For This Useful Post:
MathForLife (25-12-2010)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:43 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 67.91 k/77.50 k (12.37%)]