Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 28-12-2010, 10:59 PM   #1
quynhanhbaby
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2010
Bài gởi: 42
Thanks: 39
Thanked 12 Times in 5 Posts
Câu cực trị trong đề thi hsg Tỉnh Nghệ An

Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0, thoả mãn: $(a+b+c)^2 = 2(a^2 +b^2 +c^2) $. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêủ thức: $P=\frac{a^3 +b^3 +c^3}{(a+b+c)(ab +bc +ca)} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
quynhanhbaby is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-12-2010, 11:45 PM   #2
Unknowing
+Thành Viên+
 
Unknowing's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: THPT Hùng Vương Bình Phước( ۩xứ bụi ۩)
Bài gởi: 303
Thanks: 421
Thanked 302 Times in 164 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Unknowing
Th Minipirulitt

Trích:
Nguyên văn bởi quynhanhbaby View Post
Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0, thoả mãn: $(a+b+c)^2 = 2(a^2 +b^2 +c^2) $. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêủ thức: $P=\frac{a^3 +b^3 +c^3}{(a+b+c)(ab +bc +ca)} $
ta có các hằng đẳng thức
$\left ( a+b+c \right )^{3}= \sum a^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a) $
và $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac) $
$\rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{3} $
vậy suy ra


$p\geq \frac{3(\sum a^{3})}{(a+b+c)^{3}}= \frac{3[(a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)]}{(a+b+c)^{3}}\geq \frac{3[(a+b+c)^{3}-\frac{3.8}{27}(a+b+c)^{3}]}{(a+b+c)^{3}}=\frac{(a+b+c)^{3}(3-\frac{3.3.8}{27})}{(a+b+c)^{3}}=\frac{1}{3} $
vậy min=1/3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$Le~Thien~Cuong $
Unknowing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-12-2010, 10:51 AM   #3
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi Unknowing View Post
ta có các hằng đẳng thức
$\left ( a+b+c \right )^{3}= \sum a^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a) $
và $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac) $
$\rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{3} $
vậy suy ra


$p\geq \frac{3(\sum a^{3})}{(a+b+c)^{3}}= \frac{3[(a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)]}{(a+b+c)^{3}}\geq \frac{3[(a+b+c)^{3}-\frac{3.8}{27}(a+b+c)^{3}]}{(a+b+c)^{3}}=\frac{(a+b+c)^{3}(3-\frac{3.3.8}{27})}{(a+b+c)^{3}}=\frac{1}{3} $
vậy min=1/3
Cách làm này không đúng vì không đảm bảo dấu bằng của bất đẳng thức.

Đây là một dạng quen thuộc, có thể đưa về bài toán sau.
Trích:
Chuẩn hóa $a+b+c=2 $ (tại sao lại chuẩn hóa được?), suy ra $a^2+b^2+c^2=2 $. Khi đó ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
$P=a^3+b^3+c^3 $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to leviethai For This Useful Post:
daylight (29-12-2010)
Old 29-12-2010, 11:02 AM   #4
daylight
+Thành Viên+
 
daylight's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: Dan Phuong upper secondary school
Bài gởi: 551
Thanks: 876
Thanked 325 Times in 188 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi leviethai View Post
Cách làm này không đúng vì không đảm bảo dấu bằng của bất đẳng thức.

Đây là một dạng quen thuộc, có thể đưa về bài toán sau.
Ta lại có

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+3abc $

nên chỉ cần tìm min và max của abc

Ta có :

$(abc)^2 \le a^2\bigg(\frac{b+c}{2}\bigg)^4=a^2\bigg(\frac{2-a}{2}\bigg)^4 $

sau đó khảo sát hàm này để tìm min đúng không anh

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
daylight is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-12-2010, 11:49 AM   #5
kthptdc4
Banned
 
Tham gia ngày: Mar 2008
Bài gởi: 99
Thanks: 41
Thanked 71 Times in 27 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi quynhanhbaby View Post
Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0, thoả mãn: $(a+b+c)^2 = 2(a^2 +b^2 +c^2) $. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêủ thức: $P=\frac{a^3 +b^3 +c^3}{(a+b+c)(ab +bc +ca)} $
Cách làm tương tự

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn: ${{(x+y+z)}^{3}}=32\text{xyz} $. Tìm GTLN, GTNN của $P=\frac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}}{{{(x+y+z)}^ {4}}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: kthptdc4, 29-12-2010 lúc 11:52 AM
kthptdc4 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-12-2010, 07:17 PM   #6
quynhanhbaby
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2010
Bài gởi: 42
Thanks: 39
Thanked 12 Times in 5 Posts
Ý tưởng chắc xuất phát từ đây: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
quynhanhbaby is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-12-2010, 09:41 PM   #7
CHUNG-ĐTH
+Thành Viên+
 
CHUNG-ĐTH's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2008
Đến từ: THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An
Bài gởi: 161
Thanks: 30
Thanked 257 Times in 55 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi quynhanhbaby View Post
Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0, thoả mãn: $(a+b+c)^2 = 2(a^2 +b^2 +c^2) $. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêủ thức: $P=\frac{a^3 +b^3 +c^3}{(a+b+c)(ab +bc +ca)} $
Đặt : $a+b=x $
Ta có : $P=1+\frac{3abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=1+\frac{3c(x-c)^2}{(x+c)^3} $

+) Với $c=0 \Rightarrow P=1 $
+) Với $c \not= 0 $
từ giả thiết suy ra : $(x-c)^2=4ab\leq (a+b)^2=x^2 \Rightarrow \frac{x}{c} \ge \frac{1}{2} $
Đặt $t=\frac{x}{c} $
Khảo sát hàm $f(t)=1+\frac{3(t-1)^2}{(t+1)^3} , \forall t \ge \frac{1}{2} $
cho ta $Min = 1; Max = \frac{11}{9} $

Buồn từng Centimet
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
www.k2pi.net.vn
Tài liệu trắc nghiệm môn Toán- Đề Thi HSG môn Toán
CHUNG-ĐTH is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to CHUNG-ĐTH For This Useful Post:
daylight (29-12-2010), kthptdc4 (30-12-2010), quynhanhbaby (30-12-2010), vinh7aa (28-08-2013), xtungftu (21-08-2011)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:59 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 66.96 k/75.86 k (11.73%)]