Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tổ Hợp > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 02-06-2010, 07:19 PM   #1
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,061 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng hai BP

Chứng minh rằng nếu số nguyên tố p biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương thì biểu diễn đó là duy nhất nếu không tính đến thứ tự.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to namdung For This Useful Post:
Akira Vinh HD (19-08-2012), hoangnamb (09-08-2010)
Old 02-06-2010, 07:40 PM   #2
newbie
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2009
Bài gởi: 266
Thanks: 17
Thanked 164 Times in 84 Posts
Giả sử $p=a^2+b^2=(a+ib)(a-ib) $ với $i^2=-1;a,b \in \mathbb{N} $
Nếu $a+ib,a-ib $ ko cùng là số nguyên tố gauss thì $\exist m,n \in \mathbb{Z\[\i\]} ;|m|,|n|>1 $$ : a+ib=mn \Rightarrow p=(a+ib) \overline{ (a+ib)}=m.\overline{m}.n.\overline{n}=|m|.|n| $ (Mâu thuẫn )
Và do cách biểu diễn 1 số nguyên dưới dạng tích các số nguyên tố gauss là duy nhất nên nếu $ p=c^2+d^2=(c+id)(c-id) $ thì $ c+id=a+ib $ hoặc $c+id=a-ib $=>dpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: newbie, 02-06-2010 lúc 07:42 PM
newbie is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to newbie For This Useful Post:
Lan Phuog (18-07-2010)
Old 02-06-2010, 08:47 PM   #3
Highschoolmath
Moderator
 
Highschoolmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần
Bài gởi: 698
Thanks: 247
Thanked 350 Times in 224 Posts
Ta xét biểu thức:
$p=x^2+y^2 $(*)
Để các nghiệm của (*) không bị hoán vị, mỗi cặp $(x,y) $ thõa mãn $(*) $, ta sẽ ngầm hiểu $x>y $. Trong các cặp $(x,y) $ như vậy, ta xét cặp $(a,b) $ mà ở đó $b=miny $, và ta giả sử cũng có một cặp $(c,d) $ nào khác thõa mãn (*), ngay lập tức, ta có tính chất $a>c>d>b $.Bây giờ, ta lại có tiếp $p^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 $, đây là một phương trình Pitagore, nên tồn tại hai số tự nhiên $m>n $ để:
$p=m^2+n^2 (1),ac+bd=2mn (2),ad-bc=m^2-n^2 (3) $
Từ (3) suy ra:
Nếu $ad>m^2 \Rightarrow bc>n^2 \Rightarrow 2p^2=(a^2+d^2)+(c^2+d^2)>2(m^2+n^2) $(Vô lý)
Nếu $ad<m^2 \Rightarrow b^2<bc<n^2 \Rightarrow b<n $, vậy rõ ràng $(m,n) $ là một bộ khác thõa mãn (*) và có $n<b $(Mâu thuẫn với giả thuyết $b=miny $).Như vậy $(a,b) $ là bộ duy nhất
PS:Chả biết có đúng không nữa, vừa mới nghĩ ra :-ss
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
As long as I live, I shall think only of the Victory......................

thay đổi nội dung bởi: Highschoolmath, 02-06-2010 lúc 11:33 PM
Highschoolmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Highschoolmath For This Useful Post:
Akira Vinh HD (19-08-2012), newbie (02-06-2010)
Old 21-06-2010, 08:21 PM   #4
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi namdung View Post
Chứng minh rằng nếu số nguyên tố p biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương thì biểu diễn đó là duy nhất nếu không tính đến thứ tự.
Lão Euler có một định lý :
$N=a^2+b^2=c^2+d^2 $ thì
$N=[(\frac{k}{2})^2+(\frac{l}{2})^2][m^2+n^2] $
Trong đó ,$k=gcd(a-b,c-d),l=gcd(a+b,c+d) $, m,n là gì không nhớ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Galois_vn For This Useful Post:
trungno (11-11-2013)
Old 21-06-2010, 08:40 PM   #5
dangchienbn
+Thành Viên+
 
dangchienbn's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 78
Thanks: 5
Thanked 10 Times in 8 Posts
Có cách đơn giản hơn thì phải
Điều kiện tương đương $(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) (a>c, b>d) $
Tồn tại $m, n, p, q $ với $(n, q)=1 $ sao cho $a+c=mn, a-c=pq, d+b=mp, d-b=nq $
Suy ra p$=\frac{m^2n^2+p^2q^2+n^2q^2+m^2p^2}{4}=\frac{(m^2+ q^2)(n^2+p^2)}{4} $
Vô lí. Ta có điều phải Cm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
dangchienbn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to dangchienbn For This Useful Post:
Galois_vn (30-06-2010), Shyran (17-11-2010), trungno (11-11-2013)
Old 30-06-2010, 09:42 PM   #6
Galois_vn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Konoha
Bài gởi: 899
Thanks: 372
Thanked 362 Times in 269 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi dangchienbn View Post
Có cách đơn giản hơn thì phải
Điều kiện tương đương $(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) (a>c, b>d) $
Tồn tại $m, n, p, q $ với $(n, q)=1 $ sao cho $a+c=mn, a-c=pq, d+b=mp, d-b=nq $
Suy ra p$=\frac{m^2n^2+p^2q^2+n^2q^2+m^2p^2}{4}=\frac{(m^2+ q^2)(n^2+p^2)}{4} $
Vô lí. Ta có điều phải Cm
Cách mà tui muốn nói đến , mà không nhớ đk ràng buộc cụ thể là gì ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Galois_vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-08-2010, 12:11 AM   #7
Lệnh Hồ Xung
CÁI BANG
 
Lệnh Hồ Xung's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 86
Thanks: 4
Thanked 9 Times in 7 Posts
Các bạn học cấp 3 chuyên toán thử chứng minh bài sau xem nhé :
Định lý Fermat về tổng 2 bình phương:
"Một số nguyên tố $p $ biểu diễn được dưới dạng tổng của 2 bình phương khi và chỉ khi số nguyên tố ấy có dạng $4k+1 $. Cách biểu diễn ấy là duy nhất, không kể đến thứ tự của 2 số."
Bài toán biểu diễn số nguyên tố dưới dạng $x^2+ny^2 $ với $n $ là số tự nhiên khác ko là 1 bài toán rất thú vị và có thể coi là con gà đẻ trứng vàng của số học cổ điển(theo ý kiến chủ quan của mình).
Hôm nay hơi bận, khi nào có đủ thời gian sẽ viết về một số hiểu biết của mình về vấn đề này, trên quan điểm đại số.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mình nhận dạy đại số tuyến tính, đại số đại cương, lý thuyết Galois, lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn. Bạn nào quan tâm thì pm yahoo duykhanhhus nhé.
Blog của mình: toanly.org
Lệnh Hồ Xung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-08-2010, 08:32 AM   #8
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Cái Định Lý Fermat Euler chắc không cần:"Các bạn học cấp 3 chuyên toán thử chứng minh bài sau xem nhé" đâu anh ạ.vì chắc biết hết rồi.
Còn vấn đề $x^2+ny^2 $,ừ đúng là hay thật.em xin góp vài định lý về cái con gà này:
Lemma1)
$p $ là nguyên tố và $p $ có dạng $ 8k+1 $ hoặc $8k+3 $thì tồn tại $(x,y) $ nguyên dương sao cho $p=x^2+2y^2 $
Lemma2)
$p $ là nguyên tố và $p $ có dạng $ 6k+1 $
thì tồn tại $(x,y) $ nguyên dương sao cho $p=x^2+3y^2 $
Lemma3)
:pt $n=x^2+3y^2 $ giải được khi và chỉ khi mọi ược nguyên tố dạng $3k-1 $của n có số mũ chẵn
P/s:
------------------------------
Thắc mắc tại sao thầy Dũng lại để topic này ở
MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Lý Thuyết Số/Number Theory
nhỉ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 08-08-2010 lúc 08:53 AM Lý do: Tự động gộp bài
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-08-2010, 09:25 AM   #9
Lệnh Hồ Xung
CÁI BANG
 
Lệnh Hồ Xung's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 86
Thanks: 4
Thanked 9 Times in 7 Posts
Úi, anh nvthanh 1994 giỏi thế, em không biết mấy cái định lý anh nêu ra đâu ạ, anh đừng gọi em là anh kẻo em xấu hổ
Xem ra anh biết hết mấy chiêu của em rồi. Bây giờ em thấy cái bài toán biểu diễn số nguyên tố kiểu ấy, nó dính dáng tới cái cậu "thuận nghịch bậc 2". Anh à, anh thử triển khai phép chứng minh luật tương hỗ toàn phương Gauss cho em xem với nhé. Và anh lý giải hộ em xem tại sao 2 thứ đó liên quan đến nhau, nhớ là anh đừng bê các phép chứng minh hay lý luận ở đâu ra anh nhé, phải là phép chứng minh do anh nghĩ ra em mới phục anh ạ. Em cám ơn anh nhiều ạ ,

Đây, em nêu cái luật tương hỗ toàn phương ra, các bạn MS chuẩn bị chống mắt mà xem phép chứng minh của anh nvthanh nhé.
"Nếu p, q là 2 số nguyên tố lẻ thì :
$\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right) =(-1)^{\dfrac{(p-1)(q-1)}{4}} $
"
Còn lý do tại sao thầy Nam Dũng để nó vào box toán ĐH và sau đại học, em nghĩ em và anh nvthanh1994 nên về nhà học thêm nữa để hiểu thêm ý thầy Dũng rồi mới kết luận anh nhé

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mình nhận dạy đại số tuyến tính, đại số đại cương, lý thuyết Galois, lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn. Bạn nào quan tâm thì pm yahoo duykhanhhus nhé.
Blog của mình: toanly.org
Lệnh Hồ Xung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-08-2010, 09:51 AM   #10
Bug
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2010
Bài gởi: 13
Thanks: 1
Thanked 2 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Lệnh Hồ Xung View Post
Úi, anh nvthanh 1994 giỏi thế, em không biết mấy cái định lý anh nêu ra đâu ạ, anh đừng gọi em là anh kẻo em xấu hổ
Xem ra anh biết hết mấy chiêu của em rồi. Bây giờ em thấy cái bài toán biểu diễn số nguyên tố kiểu ấy, nó dính dáng tới cái cậu "thuận nghịch bậc 2". Anh à, anh thử triển khai phép chứng minh luật tương hỗ toàn phương Gauss cho em xem với nhé. Và anh lý giải hộ em xem tại sao 2 thứ đó liên quan đến nhau, nhớ là anh đừng bê các phép chứng minh hay lý luận ở đâu ra anh nhé, phải là phép chứng minh do anh nghĩ ra em mới phục anh ạ. Em cám ơn anh nhiều ạ ,

Đây, em nêu cái luật tương hỗ toàn phương ra, các bạn MS chuẩn bị chống mắt mà xem phép chứng minh của anh nvthanh nhé.
"Nếu p, q là 2 số nguyên tố lẻ thì :
$\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right) =(-1)^{\dfrac{(p-1)(q-1)}{4}} $
"
Còn lý do tại sao thầy Nam Dũng để nó vào box toán ĐH và sau đại học, em nghĩ em và anh nvthanh1994 nên về nhà học thêm nữa để hiểu thêm ý thầy Dũng rồi mới kết luận anh nhé
Ôi, anh không cần phải chấp thằng ngông cuồng kia đâu, nó chỉ được cái mồm chứ được cái gì, trình độ cũng thường mà chỉ chuyên gia đi chém gió.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Bug is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-08-2010, 10:02 AM   #11
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Vâng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 08-08-2010 lúc 10:30 AM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-08-2010, 10:42 AM   #12
Lệnh Hồ Xung
CÁI BANG
 
Lệnh Hồ Xung's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 86
Thanks: 4
Thanked 9 Times in 7 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nvthanh1994 View Post
Vâng.

Ô hay, thế anh vào còm men mà ko trả lời gì à anh? Anh ạ, em khuyên anh là mỗi khi đứng trước vấn đề gì thì uốn lưỡi 7 lần trước khi nói kẻo nấc nhé . Rồi ko ai chữa cho đâu
Đây, em ghi thêm ra đây 2 cái luật bổ sung của luật tương hỗ tòan phương Gauss:

$\left(\dfrac{-1}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p-1}{2}} $

$\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{2}} $

Thôi, trêu các bạn đủ rồi. Lần sau thì đừng bao giờ phán bài này gà, bài kia thế kia. Đủ bản lĩnh thì làm ăn cho tử tế. Kẻo các bài trao đổi của forum loãng hết.
Hôm nay rep vội. Mình hứa khi có thời gian sẽ viết 1 bài tử tế về vấn đề này. Thầy Nam Dũng cho em xin lỗi vì đã làm loãng box.








[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mình nhận dạy đại số tuyến tính, đại số đại cương, lý thuyết Galois, lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn. Bạn nào quan tâm thì pm yahoo duykhanhhus nhé.
Blog của mình: toanly.org

thay đổi nội dung bởi: Lệnh Hồ Xung, 08-08-2010 lúc 10:50 AM
Lệnh Hồ Xung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-08-2010, 10:46 AM   #13
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
À,hì.em nói bài con gà này là Trích lời anh cho nó vui thôi mà.không ngờ nó gây phản cảm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-08-2010, 02:38 PM   #14
nevergiveup
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2010
Bài gởi: 11
Thanks: 0
Thanked 2 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Lệnh Hồ Xung View Post

Ô hay, thế anh vào còm men mà ko trả lời gì à anh? Anh ạ, em khuyên anh là mỗi khi đứng trước vấn đề gì thì uốn lưỡi 7 lần trước khi nói kẻo nấc nhé . Rồi ko ai chữa cho đâu
Đây, em ghi thêm ra đây 2 cái luật bổ sung của luật tương hỗ tòan phương Gauss:

$\left(\dfrac{-1}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p-1}{2}} $

$\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{2}} $

Thôi, trêu các bạn đủ rồi. Lần sau thì đừng bao giờ phán bài này gà, bài kia thế kia. Đủ bản lĩnh thì làm ăn cho tử tế. Kẻo các bài trao đổi của forum loãng hết.
Hôm nay rep vội. Mình hứa khi có thời gian sẽ viết 1 bài tử tế về vấn đề này. Thầy Nam Dũng cho em xin lỗi vì đã làm loãng box.







các bạn thật là giỏi quá mình kinh sợ. Chỉ góp ý một điều nhỏ thôi
$\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{2}} $
hay là $\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{8}} $ ??
tuổi trẻ ngông cuồng nên những phát ngôn khinh người thường hay xuất hiện mình cũng trẻ cũng chỉ bằng nvthanh1994 thôi nhưng cũng ko dám giỏi đáng sợ như bạn ấy đâu
P/s: nvthanh1994 cùng lớp đó ko phải là người lạ đâu bạn nhá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
..................................................
dellday23,you are my best friend i had ever
nevergiveup is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to nevergiveup For This Useful Post:
Lệnh Hồ Xung (08-08-2010)
Old 08-08-2010, 04:57 PM   #15
Lệnh Hồ Xung
CÁI BANG
 
Lệnh Hồ Xung's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 86
Thanks: 4
Thanked 9 Times in 7 Posts
Ừ, anh sai. Chính xác là 8 chứ không phải là 2. Rep vội.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mình nhận dạy đại số tuyến tính, đại số đại cương, lý thuyết Galois, lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn. Bạn nào quan tâm thì pm yahoo duykhanhhus nhé.
Blog của mình: toanly.org
Lệnh Hồ Xung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:27 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 107.50 k/123.86 k (13.21%)]