Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 25-11-2010, 05:52 PM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,155
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Đẳng thức trong tứ diện

Cho tứ diện ABCD có $\alpha, \beta, \gamma $ lần lượt là các góc tạo bởi các cặp cạnh đối nhau: AB, CD; AC, BD; AD, BC. Gọi $S_1, S_2, S_3, S_4 $ lần lượt là diện tích của các mặt $ABC, BCD, CDA, DAB $ của tứ diện.
Chứng minh rằng:
$(AB.CD.\sin \alpha)^2+(AC.BD.\sin \beta)^2+(AD.BC.\sin \gamma)^2 = S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2 $


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 25-11-2010 lúc 06:00 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 25-11-2010, 05:59 PM   #2
novae
Super Moderator
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Anh kiểm tra lại đề nhé, chính xác phải là
$(AB.CD.\sin\alpha)^2+(AC.BD.\sin\beta)^2+(AD.BC. \sin \gamma)^2 = S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 25-11-2010, 06:01 PM   #3
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,155
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi novae View Post
Anh kiểm tra lại đề nhé, chính xác phải là
$(AB.CD.\sin\alpha)^2+(AC.BD.\sin\beta)^2+(AD.BC. \sin \gamma)^2 = S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2 $
Đã sửa lại ở trên. Cám ơn bạn novae nhiều.
À, sẵn tiện bạn novae giải giùm đi!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 25-11-2010, 06:18 PM   #4
novae
Super Moderator
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Em đổi lại kí hiệu một chút
Dựng hình hộp $AB_1DC_1. A_1BD_1C $ ngoại tiếp tứ diện
Gọi $S_1,S_2,S_3,S_4 $ là diện tích $BCD,CDA,DAB, ABC $. $Q_1,Q_2,Q_3 $ là diện tích $CC_1DD_1,AB_1DC_1, AA_1CC_1 $. $\alpha,\beta,\gamma $ là số đo góc phẳng nhị diện cạnh $BC,CD,DB $
Đẳng thức trong đề bài tương đương với $Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2= S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2 $
Gọi $h_1,h_2 $ là độ dài các đường cao kẻ từ $B,A $ xuống $CD $, chiếu tứ diện lên một mp vuông góc với $CD $, ta có hình chiếu của tứ diện là một tam giác có độ dài các cạnh là $h_1,h_2, AB\sin (AB;CD) $
Áp dụng định lý cosin, ta có
$h_1^2+h_2^2-2h_1h_2 \cos \beta=[AB \sin (AB;CD)]^2 $
$\Rightarrow \left(\frac{1}{2} CD. h_1\right)^2+\left(\frac{1}{2} CD. h_2\right)^2-2\left(\frac{1}{2} CD. h_1\right)\left(\frac{1}{2} CD. h_1\right) \sin \beta= \left[\frac{1}{2} AB. CD. \sin (AB;CD)\right]^2 $
$\Rightarrow S_1^2+S_2^2-2S_1S_2 \cos\beta =Q_1^2 $
Tương tự, ta có
$S_1^2+S_4^2-2S_1S_4 \cos\alpha=Q_2^2 $
$S_1^2+S_3^2-2S_1S_3 \cos\gamma=Q_3^2 $
$\Rightarrow 3S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2-2S_1 (S_2 \cos\beta +S_4 \cos\alpha +S_3 \cos\gamma)=Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2 $
Lại có $S_2 \cos\beta +S_4 \cos\alpha +S_3 \cos\gamma=S_1 $
Vậy ta có $S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2=Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2 $ (đpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
huynhcongbang (25-11-2010), IMO 2010 (27-11-2010), Messi_ndt (25-11-2010)
Old 27-11-2010, 10:26 AM   #5
novae
Super Moderator
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Vừa check lại kết quả, chính xác phải là
$(AB.CD.\sin (AB;CD))^2+(AC.BD.\sin (AC;BD))^2+(AD.BC.\sin (AD;BC))^2 = 4(S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2) $
Còn đẳng thức $Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2= S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2 $ vẫn đúng, vì ta có $2Q_1=AB.CD.\sin (AB;CD) $
Còn một cách chứng minh bằng cách sử dụng tích có hướng:
$2S_{ABC}=\left | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right |, 2S_{ABD}=\left | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right |, 2S_{ACD}=\left | \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \right | $
$2S_{BCD}=\left | \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} \right |=\left | \left (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right ) \times \left ( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \right ) \right |=\left | \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} \right | $
$\Rightarrow 4\left( S_{ABC}^2+S_{ABD}^2+S_{ACD}^2+ S_{BCD}^2 \right)=2\left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right)^2+2\left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right)^2+2\left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \right)^2 -2 \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right) \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) -2 \left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \right) \left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} \right) -2 \left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \right) \left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB} \right) $

$(AB.CD.\sin (AB;CD))^2=\left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right)^2=\left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right)^2+\left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right)^2 - 2 \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right) \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) $
$(AC.BD.\sin (AC;BD))^2=\left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} \right)^2=\left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \right)^2+\left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} \right)^2 - 2 \left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \right) \left( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} \right) $
$(AD.BC.\sin (AD;BC))^2=\left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB} \right)^2=\left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \right)^2+\left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB} \right)^2 - 2 \left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \right) \left( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB} \right) $

Từ đó suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
ha linh (23-12-2010), IMO 2010 (27-11-2010)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:32 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 59.70 k/67.00 k (10.88%)]