Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 26-11-2010, 07:18 AM   #1
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Bất đẳng thức giữa chiều cao và cạnh tam giác

Cho Tam giác ABC, có các cạnh là a,b,c và các chiều cao là $h_a,h_b,h_c $. Chứng minh rằng.
$\frac{1}{2}<\frac{h_a+h_b+h_c}{a+b+c}<1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-11-2010, 05:10 PM   #2
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,397
Thanks: 2,158
Thanked 4,147 Times in 1,367 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Cho Tam giác ABC, có các cạnh là a,b,c và các chiều cao là $h_a,h_b,h_c $. Chứng minh rằng.
$\frac{1}{2}<\frac{h_a+h_b+h_c}{a+b+c}<1 $
Chắc đề này cho tam giác nhọn phải không bạn? (trường hợp tam giác vuông chứng minh đơn giản).
Nếu là tam giác nhọn thì ta có:
Theo BDT về đường xiên và đường vuông góc thì:
$h_a < \min \{b, c\}, h_b < \min \{c,a\}, h_c < \min \{a, b\} $. Suy ra:
$h_b < c, h_c < a, h_a < b $. Cộng lại là ta có:
$h_a+h_b+h_c < a+b+c $.
Chiều còn lại của BDT đã cho thì cũng dựa theo BDT tam giác:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì:
$2(h_a+h_b+h_c)>2(HA+HB+HC) =\\= (HA+HB)+(HB+HC)+(HC+HA) >AB+BC+CA =a+b+c $.
Ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
batigoal (26-11-2010)
Old 26-11-2010, 05:14 PM   #3
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Nếu tam giác tù thì bất đẳng thức $\frac{1}{2}<\frac{h_a+h_b+h_c}{a+b+c} $ sai!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-11-2010, 09:32 PM   #4
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Chắc đề này cho tam giác nhọn phải không bạn?
.
Đúng rồi, đề này cho tam giác nhọn.
Nhân tiện minh bổ sung Thêm 1 bài BDT hình học nữa.

Cho tam giác ABC nhọn, có độ dài các cạnh là a,b,c. P là nửa chu vi. CMR:
$\sum_{cyc} (a+b)\sqrt{ab(p-a)(p-b)}\le 3abc $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 26-11-2010 lúc 09:41 PM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-11-2010, 09:56 PM   #5
_minhhoang_
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Saint Petersburg
Bài gởi: 126
Thanks: 18
Thanked 221 Times in 75 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới _minhhoang_
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Đúng rồi, đề này cho tam giác nhọn.
Nhân tiện minh bổ sung Thêm 1 bài BDT hình học nữa.

Cho tam giác ABC nhọn, có độ dài các cạnh là a,b,c. P là nửa chu vi. CMR:
$\sum_{cyc} (a+b)\sqrt{ab(p-a)(p-b)}\le 3abc $
Đặt $p-a=x,p-b=y,p-c=z $. Bất đẳng thức tương đương với:
$\sum {(2x + y + z)\sqrt {yz(x + y)(x + z)} } \le 3(x + y)(y + z)(z + x) $
Theo BDT AM-GM, có:
$(2x + y + z)\sqrt {yz(x + y)(x + z)} \le \frac{{(2x + y + z)(2yz + xy + xz)}}{2} $
Nên
$ VT \le \sum {\frac{{(2x + y + z)(2yz + xy + xz)}}{2} $
$ \le \frac{{8xyz + 5(x + y)(y + z)(z + x)}}{2} \le 3(x + y)(y + z)(z + x) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Хоанг
_minhhoang_ is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to _minhhoang_ For This Useful Post:
huynhcongbang (27-11-2010)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:21 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 55.90 k/63.01 k (11.27%)]