Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 26-11-2010, 08:27 PM   #1
daylight
+Thành Viên+
 
daylight's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: Dan Phuong upper secondary school
Bài gởi: 551
Thanks: 876
Thanked 325 Times in 188 Posts
Chứng minh biểu thức có giá trị không đổi

Cho tam giác ABC đều cạnh là 1 . Đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt BC,CA,AB tại M,N,P
CM $ \frac{1}{GM^4}+\frac{1}{GN^4}+\frac{1}{GP^4} $ là 1 số không đổi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
daylight is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 27-11-2010, 05:46 AM   #2
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,408
Thanks: 2,164
Thanked 4,162 Times in 1,377 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi daylight View Post
Cho tam giác ABC đều cạnh là 1 . Đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt BC,CA,AB tại M,N,P
CM $ \frac{1}{GM^4}+\frac{1}{GN^4}+\frac{1}{GP^4} $ là 1 số không đổi
Gọi $A', B', C' $ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB $ và đặt $a $ là góc tạo bởi đường thẳng đã cho với GA'. Khi đó: $GM=GA'.\cos a = r.\cos a $.
Tương tự, ta tính được:
$GN = r. \cos(a+\frac{2\pi}{3}), GP = r. \cos(a-\frac{2\pi}{3}) $.
Khi đó, ta có:
$r^4.T=\frac{r^4}{GM^4}+\frac{r^4}{GN^4}+\frac{r^4} {GP^4} = \cos^4 a+\cos^4 (a-\frac{2\pi}{3})+\cos^4 (a+\frac{2\pi}{3}) $

Đến đây, ta chứng minh biểu thức này không đổi.
$\cos^4 a+\cos^4 (a-\frac{2\pi}{3})+\cos^4 (a+\frac{2\pi}{3})\\ =\frac{1}{4}[(1+ \cos 2a)^2+(1+ \cos (2a+\frac{4\pi}{3}))^2+(1+ \cos (2a-\frac{4\pi}{3}))^2] = \\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}[ \cos^2 2a+\cos^2 (2a+\frac{4\pi}{3})+\cos^2 (2a-\frac{4\pi}{3})] + \\ + \frac{1}{2}[ \cos 2a+\cos (2a+\frac{4\pi}{3})+ \cos (2a-\frac{4\pi}{3})] $.

Ta chứng minh rằng:
$\cos 2a+\cos (2a+\frac{4\pi}{3})+ \cos (2a-\frac{4\pi}{3})=0 $

$\cos^2 2a+\cos^2 (2a+\frac{4\pi}{3})+\cos^2 (2a-\frac{4\pi}{3}) = \frac{3}{2} $ nữa là xong.
Việc biến đổi tiến hành tương tự như trên.
Cuối cùng, ta có: $T=\frac{9}{8r^4} $ không đổi. Chú ý rằng, ở đây $r=\frac{\sqrt{3}}{6} $ nên $T=162} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 27-11-2010 lúc 05:52 AM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
alibaba_cqt (27-11-2010), daylight (27-11-2010)
Old 27-11-2010, 08:36 AM   #3
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Ta chứng minh rằng:
$\cos 2a+\cos (2a+\frac{4\pi}{3})+ \cos (2a-\frac{4\pi}{3})=0 $

$\cos^2 2a+\cos^2 (2a+\frac{4\pi}{3})+\cos^2 (2a-\frac{4\pi}{3}) = \frac{3}{2} $ nữa là xong.
2 đẳng thức trên có thể chứng minh như sau:
$\cos 2a+\cos (2a+\frac{4\pi}{3})+ \cos (2a-\frac{4\pi}{3}) $
$= \cos 2a -\frac{1}{2} \cos 2a +\frac{\sqrt3}{2} \sin 2a-\frac{1}{2} \cos 2a -\frac{\sqrt3}{2} \sin 2a=0 $
$\cos^2 2a+\cos^2 (2a+\frac{4\pi}{3})+\cos^2 (2a-\frac{4\pi}{3})=\frac{3}{2}+\frac{1}{2} \left( \cos 4a+\cos(4a+\frac{8\pi}{3})+\cos (4a-\frac{8\pi}{3}) \right) $
Lại có
$\cos 4a+\cos(4a+\frac{8\pi}{3})+\cos (4a-\frac{8\pi}{3}) $
$=\cos 4a -\frac{1}{2} \cos 4a +\frac{\sqrt3}{2} \sin 4a-\frac{1}{2} \cos 4a -\frac{\sqrt3}{2} \sin 4a=0 $
Từ đó ta suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post:
daylight (27-11-2010)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:11 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 48.98 k/54.32 k (9.83%)]