Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 22-12-2010, 08:02 PM   #1
supermouse
+Thành Viên+
 
supermouse's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: diamond planet
Bài gởi: 85
Thanks: 10
Thanked 45 Times in 29 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới supermouse
Tìm max

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn:
$\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} = 2 $
Tìm ${A_{\max }} = {(ab + bc + ac)^2} + k{a^2}{b^2}{c^2}(k \in N*) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
NEVER GIVE UP☺☺☺☺☺☺☺☺
supermouse is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 25-12-2010, 06:04 PM   #2
truongvoki_bn
Moderator
 
truongvoki_bn's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: _chuyenbacninh_
Bài gởi: 614
Thanks: 72
Thanked 539 Times in 208 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi supermouse View Post
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn:
$\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} = 2 $
Tìm ${A_{\max }} = {(ab + bc + ac)^2} + k{a^2}{b^2}{c^2}(k \in N*) $
Không hiểu đề cho lắm!! mình nghĩ phải là tìm max k để $A\le 3 $ với mọi a;b;c t/m đk
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống là không chờ đợi


Đại học thôi. Lăn tăn gì nữa
truongvoki_bn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 25-12-2010, 06:11 PM   #3
avip
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 392
Thanks: 135
Thanked 247 Times in 159 Posts
Theo em nghĩ là "Tìm maxA theo k".
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
avip is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 25-12-2010, 07:54 PM   #4
truongvoki_bn
Moderator
 
truongvoki_bn's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: _chuyenbacninh_
Bài gởi: 614
Thanks: 72
Thanked 539 Times in 208 Posts
Thật thú vị là bài toán chỉ là đưa về chứng minh bài toán này:
cho x;y;z dương
khi đó:
$(\sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(z+x)})^2 \le \frac{9}{4}(x+y)(y+z)(z+x) $
tuy nhiên bài toán ban đầu a;b;c>0 thì ta mới đưa được về bài toán trên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống là không chờ đợi


Đại học thôi. Lăn tăn gì nữa
truongvoki_bn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-12-2010, 02:03 PM   #5
buon qua
+Thành Viên+
 
buon qua's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Bài gởi: 39
Thanks: 70
Thanked 56 Times in 23 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi supermouse View Post
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn:
$\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} = 2 $
Tìm ${A_{\max }} = {(ab + bc + ac)^2} + k{a^2}{b^2}{c^2}(k \in N*) $
Mình đoán mẫu chốt bài này là ở chỗ này:
Từ giả thiết suy ra:
$\sum\dfrac{a^2}{1+a^2}=1. $
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:
$1=\sum\dfrac{a^2}{1+a^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3+a^2+b^2+c^2} \Leftrightarrow ab+bc+ca \le \dfrac{3}{2}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
buon qua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-12-2010, 06:21 PM   #6
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi truongvoki_bn View Post
Thật thú vị là bài toán chỉ là đưa về chứng minh bài toán này:
cho x;y;z dương
khi đó:
$(\sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(z+x)})^2 \le \frac{9}{4}(x+y)(y+z)(z+x) $
tuy nhiên bài toán ban đầu a;b;c>0 thì ta mới đưa được về bài toán trên
Trên thực tế, bài toán ban đầu chỉ cần tìm max khi $a,b,c>0 $. Vì ta hiển nhiên có $(ab+bc+ca)^2\le (|ab|+|bc|+|ca|)^2 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-12-2010, 07:59 PM   #7
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi leviethai View Post
Trên thực tế, bài toán ban đầu chỉ cần tìm max khi $a,b,c>0 $. Vì ta hiển nhiên có $(ab+bc+ca)^2\le (|ab|+|bc|+|ca|)^2 $.
Như vậy có thể giải như sau:
$1=\sum \frac{a^2}{1+a^2}\geq \frac{(\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |)^2}{3+a^2+b^2+c^2}
\Rightarrow \left | ab \right |+\left | bc \right |+\left | ca \right |\leq \frac{3}{2}
\Rightarrow a^2b^2c^2\leq \frac{1}{8} $
Do đó:
$(ab+bc+ca)^2+ka^2b^2c^2 \leq (\left | ab \right |+\left | bc \right |+\left | ca \right |)^2+ka^2b^2c^2\leq \frac{k+18}{8} $
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:24 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 60.91 k/69.51 k (12.37%)]