Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 23-12-2010, 10:25 AM   #1
girl_sanhdieu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2010
Bài gởi: 245
Thanks: 51
Thanked 17 Times in 17 Posts
Bất đẳng thức

Cho $a,b,c $ là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: HBM, 18-01-2012 lúc 04:23 PM Lý do: Latex
girl_sanhdieu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-12-2010, 10:46 AM   #2
Unknowing
+Thành Viên+
 
Unknowing's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: THPT Hùng Vương Bình Phước( ۩xứ bụi ۩)
Bài gởi: 303
Thanks: 421
Thanked 302 Times in 164 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Unknowing
Icon10

Trích:
Nguyên văn bởi girl_sanhdieu View Post
Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}>=3 $
dùng cauchy cho 3 số ko âm
$P=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{b+a-c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}} $
mặt khác ta có
$(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc $
dể dàng chứng minh được theo
$ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4} $
$\Rightarrow P\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=3 $
dấu "=" xảy ra a=b=c
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$Le~Thien~Cuong $

thay đổi nội dung bởi: Unknowing, 23-12-2010 lúc 10:48 AM Lý do: uuuu
Unknowing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Unknowing For This Useful Post:
je.triste (27-01-2012)
Old 23-12-2010, 11:49 AM   #3
kiffen14
+Thành Viên+
 
kiffen14's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 41
Thanks: 115
Thanked 71 Times in 12 Posts
Ta xài Bdt BCS cũng ra $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}
=\frac{a^{2}}{ba+ca-a^{2}}+\frac{b^{2}}{ab+bc-b^{2}}+\frac{c^{2}}{ac+bc-c^{2}} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca} (do ( a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (ab+bc+ca)) $
Ta chứng minh $\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca} \geq 3 $
Thật vậy$do ( a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (ab+bc+ca)) $
Cộng hai vế cho$2(ab+bc+ca) $ ta có $(a+b+c)^{2})\geq 3(ab+bc+ca) $ nên $ \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca} \geq 3 $(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kiffen14 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-12-2010, 11:52 AM   #4
minhhieu123
+Thành Viên+
 
minhhieu123's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: xứ bụi Bình Phước
Bài gởi: 69
Thanks: 31
Thanked 20 Times in 11 Posts
đặt x=b+c-a;y=c+a-b;z=a+b-c;áp dụng BDT cô si 2 lần:
$\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq \frac{\sqrt{xy}}{z}+\frac{\sqrt{yz}}{x}+\frac{\sqr t{zx}}{y} \geq 3 $
dấu = khi a=b=c
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: minhhieu123, 23-12-2010 lúc 11:54 AM
minhhieu123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-12-2010, 12:11 PM   #5
kiffen14
+Thành Viên+
 
kiffen14's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 41
Thanks: 115
Thanked 71 Times in 12 Posts
Bài này còn có thể cách đổi biến như sau
Đặt$b+c-a=x , c+a-b=y , a+b-c=z
\Rightarrow a=\frac{y+z}{2},b=\frac{x+z}{2},c=\frac{x+y}{2}
$ Từ bđt đã cho ta có bđt mới : $\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z} \geq 3 $
$(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y} )+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\geq 6 $(đúng) vì $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2 , \frac{y}{z}+\frac{z}{y}\geq 2,\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\geq 2 $(bdt AM-GM)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kiffen14 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-01-2012, 06:00 PM   #6
casio
+Thành Viên+
 
casio's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Everywhere
Bài gởi: 29
Thanks: 6
Thanked 7 Times in 7 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi girl_sanhdieu View Post
Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}>=3 $
Bài này mình dùng B.Đ.T Cauchy-Swarzd cũng ra đó :

$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}= \sum \frac{a^2}{ab+bc-a^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)} $

Mà:$ 2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) \le 2(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca) $$\Rightarrow $$\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)} \ge \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \ge \frac{3(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca} =3 $


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
NOTHING IS IMPOSSIBLE
casio is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-01-2012, 09:08 PM   #7
v.t.t_96
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Đến từ: PTNK HCM city
Bài gởi: 162
Thanks: 87
Thanked 101 Times in 73 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi girl_sanhdieu View Post
Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}>=3 $
Mình làm cách đơn giản thế này :
Sau khi nhân 2 và cộng thêm 3 cho cả 2 vế của bđt ta có
$ (a+b+c)(\frac {1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}) \geq 9 $
Đây là kết quả của bđt cơ bản $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z} $
Vậy ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
v.t.t_96 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to v.t.t_96 For This Useful Post:
Galois_vn (18-01-2012)
Old 18-01-2012, 01:28 PM   #8
minhcanh2095
+Thành Viên+
 
minhcanh2095's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Đến từ: Trường ĐH CNTT - ĐHQG TPHCM
Bài gởi: 574
Thanks: 437
Thanked 256 Times in 159 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi casio View Post
Bài này mình dùng B.Đ.T Cauchy-Swarzd cũng ra đó :

$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}= \sum \frac{a^2}{ab+bc-a^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)} $

Mà:$ 2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) \le 2(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca) $$\Rightarrow $$\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)} \ge \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \ge \frac{3(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca} =3 $

Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì mới có $b+c-a>0, c+a-b>0, a+b-c>0 $. Còn nếu cho a, b, c không âm thì chưa đủ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Gác kiếm
minhcanh2095 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to minhcanh2095 For This Useful Post:
Galois_vn (18-01-2012)
Old 18-01-2012, 08:54 PM   #9
tungminh159
+Thành Viên+
 
tungminh159's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2011
Đến từ: THPT KrôngNô
Bài gởi: 25
Thanks: 15
Thanked 5 Times in 5 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Unknowing View Post
$(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc $
dể dàng chứng minh được theo
$ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4} $
giúp mình bài BĐT đó đi.cảm ơn bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: tungminh159, 18-01-2012 lúc 09:02 PM
tungminh159 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 27-01-2012, 09:36 AM   #10
nguyenquocdat
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Bài gởi: 4
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi girl_sanhdieu View Post
Cho $a,b,c $ là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3 $
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: nhân vế trái với $2ab+2bc+2ac - a^2-b^2-c^2 $, ta có
$VT(2ab+2bc+2ac - a^2-b^2-c^2) \ge (a+b+c)^2 $
$\Leftrightarrow VT(a^2+b^2+ c^2) \ge (a+b+c)^2 $
$\Leftrightarrow VT \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+ c^2} $ (1)
Dễ chứng minh được vế phải của (1) $\le 3 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: nguyenquocdat, 27-01-2012 lúc 11:25 AM Lý do: thiếu sót
nguyenquocdat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 27-01-2012, 10:02 AM   #11
antoank21
+Thành Viên+
 
antoank21's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Bài gởi: 99
Thanks: 35
Thanked 69 Times in 46 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới antoank21
Trích:
Nguyên văn bởi girl_sanhdieu View Post
Cho $a,b,c $ là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3 $
ta có $\frac{a}{b+c-a}+\frac{1}{2}=\, \frac{1}{2}.\frac{a+b+c}{b+c-a} $
tương tự $\frac{b}{a+c-b}+\frac{1}{2}=\, \frac{1}{2}.\frac{a+b+c}{a+c-b} $
$\frac{c}{a+b-c}+\frac{1}{2}=\, \frac{1}{2}.\frac{a+b+c}{a+b-c} $
cộng vế theo vế 3 đẳng thức trên ta được
$\frac{a}{c+b-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}+\frac{3}{2}=\, \frac{a+b+c}{2}.(\sum \frac{1}{c+b-a}) $
áp dụng B.Đ.T Cauchy-Swarzd ta có

$\frac{a+b+c}{2}.(\sum \frac{1}{c+b-a}) \geq \, \frac{a+b+c}{2}.\frac{3^2}{a+b+c}=\frac{9}{2} $
suy ra đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
toán học hấp dẫn ta bằng những nỗi khó khăn và những niềm hi vọng
antoank21 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to antoank21 For This Useful Post:
je.triste (27-01-2012), MathForLife (27-01-2012)
Old 27-01-2012, 04:30 PM   #12
hansongkyung
+Thành Viên+
 
hansongkyung's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Han Tae Woong - IMO 1998
Bài gởi: 493
Thanks: 108
Thanked 406 Times in 240 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới hansongkyung
Trích:
Nguyên văn bởi tungminh159 View Post
giúp mình bài BĐT đó đi.cảm ơn bạn
$(a+b-c)(b+c-a) \le \frac{(a+b-c+b+c-a)^2}{4} = \frac{4b^2}{4} = b^2 $
Tương tự, ta có ...
cuối cùng đc
$ [(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2 \le (abc)^2 $
...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Trương Mạnh Hùng, lớp 12A1, THPT Mai Sơn, Sơn La.

thay đổi nội dung bởi: novae, 27-01-2012 lúc 04:33 PM
hansongkyung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hansongkyung For This Useful Post:
nhn_1997 (12-03-2012)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:52 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 87.72 k/101.81 k (13.84%)]