Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 26-12-2010, 02:18 PM   #1
babylong
+Thành Viên+
 
babylong's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 24
Thanks: 95
Thanked 41 Times in 6 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới babylong
Chứng minh bất đẳng thức

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3
CmR : $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(4-\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{c^{2}}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
babylong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-12-2010, 06:45 PM   #2
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi babylong View Post
Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3
CmR : $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(4-\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{c^{2}}) $
Bài này sẽ dễ giải hơn nếu chúng ta đã làm 2 bài toán sau

Trích:
Bài toán 1. Cho $a,b,c $ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca. $
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\ge3a $.

Làm tương tự 2 cái còn lại, cộng lại, ta được
$2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^2+b^2+c^2\ge 3(a+b+c)=(a+b+c)^2 $

Lại có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca $.

Từ đây dễ dàng suy ra điều phải chứng minh. $\hfill \Box $

Trích:
Bài toán 2. Cho $a,b,c $ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2 $.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a +b+c}{abc}=\dfrac{3}{abc} $.

Ta cần chứng minh $abc(a^2+b^2+c^2) $.

Áp dụng AM-GM và bất đẳng thức quen thuộc $3abc(a+b+c)\le(ab+bc+ca)^2 $

$abc(a^2+b^2+c^2)\le\dfrac{(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2 )}{9}\le\dfrac{1}{9}(\dfrac{ab+bc+ca+ab+bc+ca+a^2+ b^2+c^2}{3})^3=3 $.

Ta có điều phải chứng minh.$\hfill \Box $


Trở lại với bài toán ban đầu. Áp dụng 2 bất đẳng thức vừa mới chứng minh. Ta có
$(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac {1}{c^2})+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge(a^2+b^2+c^ 2)^2+ab+bc+ca $
Đặt $x=a^2+b^2+c^2 $, khi đó dễ dàng có $x\ge 3 $ và $ab+bc+ca=\dfrac{9-x}{2} $. Như vậy ta chỉ cần chứng minh
$x^2+\dfrac{9-x}{2}\ge 4x $
Tương đương với $(x-3)(2x-3)\ge 0 $ (đúng do $x\ge 3 $).
Ta có điều phải chứng minh. $\hfill \Box $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to leviethai For This Useful Post:
babylong (26-12-2010), jakelong (30-12-2010), MathForLife (26-12-2010), Unknowing (26-12-2010)
Old 26-12-2010, 07:48 PM   #3
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi leviethai View Post
Trích:
Bài toán 2. Cho $a,b,c $ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \ge a^2+b^2+c^2 $
Đây là đề thi Romania TST năm 2006.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-12-2010, 08:09 PM   #4
Evarist Galois
+Thành Viên+
 
Evarist Galois's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Từ A0 đến FTU
Bài gởi: 320
Thanks: 57
Thanked 180 Times in 95 Posts
Các mở rộng cho BDT này:
Cho 3 số $a,b,c>0 $ thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3} \ge a^3+b^3+c^3 $
$\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5} \ge a^5+b^5+c^5 $
Mời anh em
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Evarist Galois is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:13 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 52.68 k/58.74 k (10.31%)]