Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 28-12-2010, 08:57 PM   #1
man111
+Thành Viên+
 
man111's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 273
Thanks: 152
Thanked 77 Times in 49 Posts
Maximum value.

Find Max. value of $(a-x)(b-y)(c-z)(ax+by+cz) $. where $a,b,c $ are positive and $(a-x),(b-y) $ and $(c-z) $ are also positive.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
man111 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-12-2010, 12:02 PM   #2
Poincare
+Thành Viên+
 
Poincare's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Đến từ: ĐHKHTN, ĐHQGHN
Bài gởi: 144
Thanks: 26
Thanked 56 Times in 42 Posts
Gửi tin nhắn qua Skype™ tới Poincare
Trích:
Nguyên văn bởi man111 View Post
Find Max. value of $(a-x)(b-y)(c-z)(ax+by+cz) $. where $a,b,c $ are positive and $(a-x),(b-y) $ and $(c-z) $ are also positive.
Put $P(x,y,z)=(a-x)(b-y)(c-z)(ax+by+cz) $.
It's obvious that the maximum value of P cannot be satisfying $P_{max} \le 0 $ because P is always greater than 0 where we take any $x,y,z $ such that $0<x<a,0<y<b,0<z<c. $.

By the given condition, $(a-x), (b-y) $ and $(c-z) $ are positive. Then $(ax+by+cz) $ is also positive.

Consequently, just applying AM-GM inequality for 4 positive real numbers system $(a-x, b-y, c-z, ax + by + cz) $ as will be expressing as below, then make both 2 sides to 4th power, we obtain:

$(a - x)(b - y)(c - z)(ax + by + cz) = \frac{1}{{abc}}({a^2} - ax)({b^2} - by)({c^2} - cz)(ax + by + cz) \le \frac{1}{{256abc}}{({a^2} + {b^2} + {c^2})^4} $.

The equality holds if and only if there exists some $(x,y,z) $ satisfies the linear combination: $a - x = b - y = c - z = ax + by + cz $. That system exactly has the only solution because after implying to the linear equations system $\left\{ \begin{array}{l}(a + 1)x + by + cz = a \\x - y = a - b \\ y - z = b - c \\\end{array} \right. $, the determinant $D=a+b+c+1>0 $. Thus, it's not very difficult to compute the appropriate $(x,y,z) $.

Finally, u should check that whether it would be suitable to the given hypothesis or not.

Best regards!

Poincare.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Poincare, 29-12-2010 lúc 12:07 PM
Poincare is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Poincare For This Useful Post:
man111 (29-12-2010)
Old 29-12-2010, 12:15 PM   #3
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi Poincare View Post
Put $P(x,y,z)=(a-x)(b-y)(c-z)(ax+by+cz) $.
It's obvious that the maximum value of P cannot be satisfying $P_{max} \le 0 $ because P is always greater than 0 where we take any $x,y,z $ such that $0<x<a,0<y<b,0<z<c. $.

By the given condition, $(a-x), (b-y) $ and $(c-z) $ are positive. Then $(ax+by+cz) $ is also positive.

Consequently, just applying AM-GM inequality for 4 positive real numbers system $(a-x, b-y, c-z, ax + by + cz) $ as will be expressing as below, then make both 2 sides to 4th power, we obtain:

$(a - x)(b - y)(c - z)(ax + by + cz) = \frac{1}{{abc}}({a^2} - ax)({b^2} - by)({c^2} - cz)(ax + by + cz) \le \frac{1}{{256abc}}{({a^2} + {b^2} + {c^2})^4} $.

The equality holds if and only if there exists some $(x,y,z) $ satisfies the linear combination: $a - x = b - y = c - z = ax + by + cz $. That system exactly has the only solution because after implying to the linear equations system $\left\{ \begin{array}{l}(a + 1)x + by + cz = a \\x - y = a - b \\ y - z = b - c \\\end{array} \right. $, the determinant $D=a+b+c+1>0 $. Thus, it's not very difficult to compute the appropriate $(x,y,z) $.

Finally, u should check that whether it would be suitable to the given hypothesis or not.

Best regards!

Poincare.
Thanks for your proof.

But I think the system should be
$a^2-ax=b^2-by=c^2-cz=ax+by+cz $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to leviethai For This Useful Post:
man111 (29-12-2010)
Old 29-12-2010, 12:24 PM   #4
Poincare
+Thành Viên+
 
Poincare's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Đến từ: ĐHKHTN, ĐHQGHN
Bài gởi: 144
Thanks: 26
Thanked 56 Times in 42 Posts
Gửi tin nhắn qua Skype™ tới Poincare
Trích:
Nguyên văn bởi leviethai View Post
Thanks for your proof.

But I think the system should be
$a^2-ax=b^2-by=c^2-cz=ax+by+cz $
Oh that's right, perhaps I'm sleepy then can't concentrate. Similarly to the above, the system also has only solution because $D=3abc>0 $.

Thanks for your recommendation!

Poincare,
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Poincare is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Poincare For This Useful Post:
man111 (29-12-2010)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:35 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 52.17 k/58.34 k (10.58%)]