Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-03-2011, 07:46 PM   #16
daylight
+Thành Viên+
 
daylight's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: Dan Phuong upper secondary school
Bài gởi: 551
Thanks: 876
Thanked 325 Times in 188 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi can_hang2008 View Post
Mời các bạn cùng phân tích bài này, mình vừa thấy trên mathlinks:

Cho $a,\;b,\;c $ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 \ge 3. $ Chứng minh rằng
$(a^2+b^2+abc)(b^2+c^2+abc)(c^2+a^2+abc) \ge 3abc(a+b+c)^2. $
với mỗi bộ $a,b,c $ bất kì thì trong 3 số $\{abc-a^2,abc-b^2,abc-c^2\} $ của tập này ta luôn luôn có 2 số cùng dấu.
Giả sử đó là $abc-a^2 $ và $abc-b^2 $ thì $(abc-a^2)(abc-b^2) \ge 0. $

Sử dụng Cauchy-Schwaz ta có :

$\bigg(1+1+\frac{c}{ab}\bigg)(a^2+b^2+abc) \ge (a+b+c)^2 $
kết hợp với giải thiết $a^2+b^2+c^2 \ge 3 $ ta sẽ chứng minh kết quả mạnh hơn :

$(b^2+c^2+abc)(c^2+a^2+abc) \ge (a^2+b^2+c^2)(2abc+c^2) $

$\Leftrightarrow \frac{b^2+c^2+abc}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{2abc+c^2}{c^2+a^2+abc} $

$\Leftrightarrow \frac{abc-a^2}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{abc-a^2}{c^2+a^2+abc} $

$\Leftrightarrow \frac{(abc-a^2)(abc-b^2)}{(a^2+b^2+c^2)(c^2+a^2+abc)} \ge 0 $

Vậy ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
daylight is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 20 Users Say Thank You to daylight For This Useful Post:
AnhIsGod (01-03-2012), dandoh221 (11-03-2011), duynhan (17-05-2011), haimap27 (11-03-2011), hoangthuygiang (18-08-2016), Ino_chan (09-04-2011), je.triste (13-03-2011), Lê Thế Long (28-09-2011), lexuanthang (12-03-2011), Lil.Tee (01-04-2011), magician_14312 (11-03-2011), mathematician (14-03-2011), mathmath123 (25-08-2012), Mệnh Thiên Tử (12-03-2011), nhox12764 (13-03-2011), thiendienduong (14-12-2011), tienanh_tx (18-12-2012), Unknowing (11-03-2011), vthiep94 (16-03-2011), Yucio.3bi_love (14-07-2011)
Old 11-03-2011, 09:15 PM   #17
can_hang2008
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 310
Thanks: 5
Thanked 751 Times in 187 Posts
Lời giải của daylight giống của anh. Em thử phân tích ý tưởng xem sao.

@Batigoal: How old are you?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The love makes us stronger!

Võ Quốc Bá Cẩn
can_hang2008 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-03-2011, 09:36 PM   #18
daylight
+Thành Viên+
 
daylight's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: Dan Phuong upper secondary school
Bài gởi: 551
Thanks: 876
Thanked 325 Times in 188 Posts
Em chỉ có hướng làm là cố gắng triệt tiêu bỏ đại lượng $(a+b+c)^2 $ ở vế phải để bất đẳng thức đơn giản hơn thui ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
daylight is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to daylight For This Useful Post:
dandoh221 (12-03-2011), je.triste (13-03-2011), long_chau2010 (11-03-2011), Yucio.3bi_love (14-07-2011)
Old 11-03-2011, 10:13 PM   #19
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Bài 8: Một bài 4 biến cho thay đổi không khí
Cho a,b,c,d là 4 số thực dương .Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+b(a+c)}+\frac{(b+c)^2}{b^2+ c^2+b(a+c)}+\frac{(c+d)^2}{c^2+d^2+d(a+d)}+\frac{( a+b)^2}{d^2+a^2+a(d+a)}\leq 4 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 12-03-2011 lúc 07:23 PM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post:
AnhIsGod (01-03-2012), Ino_chan (09-04-2011), Lil.Tee (01-04-2011)
Old 11-03-2011, 10:27 PM   #20
supermouse
+Thành Viên+
 
supermouse's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: diamond planet
Bài gởi: 85
Thanks: 10
Thanked 45 Times in 29 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới supermouse
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Bài 7: Một bài 4 biến cho thay đổi không khí
Cho a,b,c,d là 4 số thực dương .Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+b(a+c)}+\frac{(b+c)^2}{b^2+ c^2+b(a+c)}+\frac{(c+d)^2}{c^2+d^2+d(a+d)}+\frac{( a+b)^2}{d^2+a^2+a(d+a)}\leq 4 $
$\sum {\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + b(a + c)}}} \le \sum {\left[ {\frac{{{a^2}}}{{a(a + b)}} + \frac{{{b^2}}}{{b(b + c)}}} \right]} = \sum {\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}}} \right)} = 4 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
NEVER GIVE UP☺☺☺☺☺☺☺☺
supermouse is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to supermouse For This Useful Post:
Lil.Tee (01-04-2011)
Old 11-03-2011, 10:49 PM   #21
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi supermouse View Post
$\sum {\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + b(a + c)}}} \le \sum {\left[ {\frac{{{a^2}}}{{a(a + b)}} + \frac{{{b^2}}}{{b(b + c)}}} \right]} = \sum {\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}}} \right)} = 4 $
Cách làm của bạn trùng ý tưởng với mình.
Ở đây mình chia sẻ thêm là làm sao chúng ta nghĩ ra được cách giải như vậy.
1.Nhìn vào biể thức vế trái chúng ta thấy BDT có dạng phân số.
2.Tử số là bình phương của một tổng.
Điều này gợi cho chúng ta nghĩ tới BDT C_S dạng phân thức
$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\geq \frac{(x+y)^2}{a+b} $
Chú ý là:Khi làm chúng ta nên linh động tức là có bài phân tích theo chiều xuôi, nhung cũng có bài phân tích ngược lại. Và bài này là ngược lại. $\frac{(x+y)^2}{a+b}\leq \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post:
Jack.ckl (02-12-2011), je.triste (13-03-2011), Lil.Tee (01-04-2011), long_chau2010 (12-03-2011)
Old 11-03-2011, 10:56 PM   #22
ndtkhtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 2
Thanks: 0
Thanked 5 Times in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Phân tích:
Để ý vế trái của BDT có dạng phân số, quan sát thấy tổng các mẫu số của Vế trái bằng $2(a^2+b^2+c^2)=2 $. Như vậy nếu dùng C_S sẽ giúp chúng ta khủ bỏ mẫu.Với quan sát bước đầu như vậy, giúp chúng ta có thêm niềm tin sử dụng C_S trong bài toán này.
Áp dụng C_S ta có:
$P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2 +b^2}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2(a^2+b^2+c^ 2)}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2} $
Áp dụng AM_GM , chung ta có:
$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\geq 9\sqrt[3]{abc} $
Lại do $1=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}} $.
Nên $P\geq \frac{\sqrt{3}}{2} $
cauchy-schwarz thì có 2 lg thế này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf DI.pdf (65.0 KB, 587 lần tải)
ndtkhtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to ndtkhtn For This Useful Post:
batigoal (11-03-2011), je.triste (13-03-2011), nhox12764 (03-04-2011), thiendienduong (14-12-2011), Yucio.3bi_love (14-07-2011)
Old 12-03-2011, 09:32 AM   #23
khaitang1234
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 81
Thanks: 86
Thanked 96 Times in 53 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới khaitang1234
bài 9 Cho $x,y,z\in [-1;1] $và $x+y+z=0 $. Chứng minh:
$\sqrt{1+x+y^{2}}+\sqrt{1+y+z^{2}}+\sqrt{1+z+x^{2}} \geq 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khaitang1234, 13-03-2011 lúc 09:01 AM Lý do: Đánh số bài 9
khaitang1234 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to khaitang1234 For This Useful Post:
Lil.Tee (01-04-2011)
Old 12-03-2011, 12:41 PM   #24
can_hang2008
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 310
Thanks: 5
Thanked 751 Times in 187 Posts
Mời các bạn phân tích và tìm lời giải cho bài toán khó sau:

Bài 10 Cho $a_1,\; a_2,\; \ldots,\; a_{10} $ là các số thực thỏa mãn $\sum_{i=1}^{10} a_i =0 $ và $\sum_{i=1}^{10} a_i^2=1. $ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=a_1a_2+a_2a_3+\cdots +a_{10}a_1. $
Đây là một trường hợp riêng của bất đẳng thức Ky Fan và nó có thể giải bằng Cauchy-Schwarz khá thú vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The love makes us stronger!

Võ Quốc Bá Cẩn

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 12-03-2011 lúc 07:24 PM Lý do: Đánh bài theo thứ tự 10
can_hang2008 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to can_hang2008 For This Useful Post:
AnhIsGod (01-03-2012), Lil.Tee (01-04-2011)
Old 12-03-2011, 07:13 PM   #25
phantiendat_hv
+Thành Viên Danh Dự+
 
phantiendat_hv's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Bình Phước.....$ xứ bụi $
Bài gởi: 379
Thanks: 273
Thanked 408 Times in 184 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới phantiendat_hv
Bài 11:

Cho $a,b,c $ là các số thực không âm
CMR: $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{b^2+a ^2}\ge \frac{4}{a+b+c} $

Bài 12:

Cho $a,b,c \ge 0 $

CMR: $\frac{a^3}{a^3+abc+b^3}+\frac{b^3}{b^3+abc+c^3}+ \frac{c^3}{c^3+abc+a^3} \ge 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Phan Tiến Đạt

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 12-03-2011 lúc 07:25 PM Lý do: Đánh bài theo thứ tự
phantiendat_hv is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to phantiendat_hv For This Useful Post:
Lil.Tee (01-04-2011)
Old 12-03-2011, 08:09 PM   #26
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi phantiendat_hv View Post
[B][U]
Bài 12:

Cho $a,b,c \ge 0 $

CMR: $\frac{a^3}{a^3+abc+b^3}+\frac{b^3}{b^3+abc+c^3}+ \frac{c^3}{c^3+abc+a^3} \ge 1 $
Phân tích:
Để ý thấy vế trái là phân số , tử có bậc 3,mẫu cũng có bậc 3.Vậy đây là BDT thuần nhất. KHi đó để đơn giản chúng ta chuẩn hóa $abc=1 $.
Đến đây ta có thể đặt $a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z} $.BDT đưa về:
$\sum \frac{y^6}{y^6+x^3y^3+z^3x^3}\geq 1 $.
Đến đây chúng ta lại thấy tử số là $y^6=(y^3)^2 $ và biểu thức vế trái là phân số điều đó gợi cho chúng ta nhớ tới BDT C_S dạng phân thức.
Áp dụng C_S ta có:$\sum \frac{y^6}{y^6+x^3y^3+z^3x^3}\geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{(x^3+y^3+z^3)^2}=1 $.dfcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 12-03-2011 lúc 08:30 PM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post:
je.triste (13-03-2011), Mệnh Thiên Tử (15-03-2011), shinichi_kute (07-02-2012), thiendienduong (14-12-2011), Unknowing (12-03-2011)
Old 12-03-2011, 08:26 PM   #27
Kratos
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Toán 0912, PTNK, Tp.HCM
Bài gởi: 87
Thanks: 25
Thanked 160 Times in 73 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Kratos
Trích:
Nguyên văn bởi phantiendat_hv View Post
Bài 11:

Cho $a,b,c $ là các số thực không âm
CMR: $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{b^2+a ^2}\ge \frac{4}{a+b+c} $

Bài 12:

Cho $a,b,c \ge 0 $

CMR: $\frac{a^3}{a^3+abc+b^3}+\frac{b^3}{b^3+abc+c^3}+ \frac{c^3}{c^3+abc+a^3} \ge 1 $
Bài 11: Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có

$LHS \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)} $

Như vậy ta cần chứng minh $\dfrac{(a+b+c)^2}{ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)} \ge \dfrac{4}{a+b+c} $. Bất đẳng thức này đúng do Schur và đánh giá $abc \ge 0 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Kratos is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to Kratos For This Useful Post:
je.triste (13-03-2011), kid3494 (22-06-2011), Lil.Tee (01-04-2011), n.v.thanh (12-08-2011), Unknowing (12-03-2011)
Old 12-03-2011, 09:59 PM   #28
king_math96
+Thành Viên+
 
king_math96's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2010
Đến từ: huyện lặng gió, tỉnh quan họ
Bài gởi: 170
Thanks: 156
Thanked 87 Times in 50 Posts
Bài13 Cho n số thực dương $ a_1,a_2....,a_n $ thỏa mãn $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_1 }=n+1 $
T“m Min, Max của $T=\frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 } $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 12-03-2011 lúc 10:53 PM Lý do: Đánh số thứ tự
king_math96 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to king_math96 For This Useful Post:
Lil.Tee (01-04-2011), Messi_ndt (16-03-2011), ohio (28-05-2014)
Old 13-03-2011, 10:47 AM   #29
supermouse
+Thành Viên+
 
supermouse's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: diamond planet
Bài gởi: 85
Thanks: 10
Thanked 45 Times in 29 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới supermouse
Bài14:
Tìm min,max:$ f(x) = x(1002 + \sqrt {2012 - {x^2}} ) $
Bài15:
Tìm max: $A = \frac{{xy}}{{{x^2} + xy + yz}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + yz + xz}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + xz + xy}}(x;y;z \in {R^ + }) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
NEVER GIVE UP☺☺☺☺☺☺☺☺

thay đổi nội dung bởi: supermouse, 13-03-2011 lúc 10:53 AM
supermouse is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to supermouse For This Useful Post:
Lil.Tee (01-04-2011)
Old 13-03-2011, 10:49 AM   #30
socialnetwork
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 8
Thanks: 0
Thanked 6 Times in 2 Posts
Bài 15. Cho các số thực dương $a,b,c $ thỏa $a + b + c = 1 $. Tìm giá trị lớn nhất của $\sum \frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
socialnetwork is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to socialnetwork For This Useful Post:
Lil.Tee (01-04-2011)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:58 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 115.27 k/132.50 k (13.00%)]