Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 14-01-2008, 05:28 PM   #1
conan236
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 287
Thanks: 17
Thanked 104 Times in 43 Posts
Topic về Phương Trình Hàm và Đa Thức

mình lập ra topic này monh mọi người ó thể cung cấp những bài toán hay của phương trình hàm.Mình thấy ở đây chỉ toàn là bất đẳng thức , nhìn chóng mặt quá.Sau đây là 2 bài toán mở đầu của mình:facebowling:
1)Tìm hàm $f:R^{+}{\rightarrow}R^{+} $ thỏa mãn :
$f(x+y)+f(x)(f(y)=f(xy)+f(x)+f(y) $
2)tìm hàm $f:R{\rightarrow}R $ thỏa mãn $f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2 $
tìm hàm $f:R{\rightarrow}R $ thỏa mãn $f(x^3+f(y))=y+(f(x))^3 $
Từ đó ta có bài toán tổng quát sau
tìm hàm $f:R{\rightarrow}R $ thỏa mãn $f(x^n+f(y))=y+(f(x))^n $
với $n{\in}N* $
bài 1) là một bài không khó nhưng bài 2) đã từng là đề thi IMO 1992
đấy chỉ là những bài toán mở đầu cho topic dành cho phương trình hàm này
Mình mong các bạn có thể đóng góp thật nhiều bài về PTH cho topic này
Rất cám ơn các bạn:burnjossstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
conan236 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 28 Users Say Thank You to conan236 For This Useful Post:
1703025 (13-05-2012), AnhIsGod (18-02-2012), arsenal1000 (21-07-2012), Brandnewworld (02-01-2012), cool hunter (01-07-2013), Dream High (03-09-2012), gb2124 (11-10-2008), ghetvan (06-11-2011), Gin Mellkior (17-02-2013), hgly1996 (06-06-2012), hiep 123 (05-02-2012), huynhcongbang (16-10-2010), IMO 2010 (27-11-2010), King of Maths (01-01-2015), lilsalyn (11-04-2012), Messi_ndt (18-12-2010), Ngô_Trung_Hiếu (02-01-2011), nguyenhtctb (20-05-2011), nho_ngOx (03-04-2012), shyhaeky_1111 (12-11-2011), thanhquang0410 (06-02-2011), thephuong (25-08-2011), Thmcuongvn (24-05-2014), tranghieu95 (20-11-2011), TrauBo (25-08-2012), tson1997 (25-06-2014), tungk45csp (27-06-2012), vuive97 (13-08-2012)
Old 14-01-2008, 05:39 PM   #2
Quân -k47DHV
+Thành Viên Danh Dự+
 
Quân -k47DHV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Đến từ: Đại Học Y Hà Nội
Bài gởi: 421
Thanks: 5
Thanked 105 Times in 80 Posts
mình post vài bài
1,cho$ f $song ánh : $N* --> N* $ cm tồn tại $c>b>a $ tm $f(c) + f(a) = 2f(b) $
2, tìm tất cả $ f $ : $Q^{+} --> Q^{+} $ tm

(I)$ f(x) + f(y) = f(x+y) $
(II)$ f(x)f(\frac1x) = 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Quân -k47DHV, 29-01-2008 lúc 10:09 PM
Quân -k47DHV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Quân -k47DHV For This Useful Post:
hoang_kkk (20-07-2012), IMO 2010 (27-11-2010)
Old 14-01-2008, 05:52 PM   #3
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Trước hết ta có tồn tại vô số $n $ mà $f(n)>f(m) $ với mọi $m=1,2,...,n-1 $.

Thật vậy, nếu tồn tại hữu hạn số $n $ như trên thì với $N_0 $ nào đó trở đi ta có $f(n)<{max}\limits_{1\le i\le N_0}f(i) $ vô lí.

Vào bài toán: ta có chọn $a $ thỏa mãn điều kiện trên. và $b>a $ cũng thỏa mãn đk trên. Ta có $2f(b)-f(a)>2f(b)-f(b) $. Suy ra tồn tại $c $ mà $f(c)=2f(b)-f(a) $. Nhưng rõ ràng là $f(m)<f(b) $ với mọi m<b do đó ta có $c>b $. ĐPCM

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 01-02-2008 lúc 12:58 PM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Traum For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 14-01-2008, 05:55 PM   #4
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Bài toán đơn giản mà phương pháp hay: Tìm tất cả các hàm số $f: (1,+\infty)\to R $ thỏa mãn $f(x)-f(y)=(y-x)f(xy) $ với mọi $x,y>1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Traum For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 14-01-2008, 06:36 PM   #5
everest
Banned
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 136
Thanks: 0
Thanked 4 Times in 2 Posts
Q noi đúng đấy,làm BDT mãi chán quá,thay đổi không khí đê. :burnjossstick:
Pro1:Tìm tất cả các hàm $f,g:R\rightarrow R $ thỏa mãn
$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
everest is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to everest For This Useful Post:
hoang_kkk (20-07-2012), IMO 2010 (27-11-2010), nguyentranthi (01-01-2013)
Old 14-01-2008, 07:50 PM   #6
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Nhận xét 1: $f(x+g(x))=g(x) $
Nhận xét 2: $f(x+g(0))=xf(0)+g(x) $
Nhận xét 3: $f(g(y))=g(0)-yf(0) $.

Trường hợp 1: $f(0)=0 $. Theo nx 3 ta có $f(g(y))=0 $ với mọi $y $. Nhưng theo nx 1 ta có $f(g(0))=g(0) $ suy ra $g(0)=0 $. Từ đó và theo nx2 ta có $f(x)=g(x) $ với mọi $x $. kết hợp với nx3 suy ra $f(f(y))=0 $ với mọi $y $.

Với $f(x)=g(x) $ thì biểu thức ban đầu trở thành $f(x+f(y))=xf(y)-yf(x)+f(x) $. Cho $y $ bởi $f(y) $ thì ta có $f(x+f(f(y))=xf(f(y))-f(y)f(x)+f(x). $Suy ra $f(x)=0-f(x)f(y)+f(x) $. Suy ra $f(x)f(y)=0 $ với mọi $x,y $ suy ra $f(x)=g(x)=0 $ với mọi $x $.

Trường hợp 2: $f(0)\neq 0 $. Từ nx2 ta sẽ có $g(y) $ là đơn ánh và $f(x) $ là toàn ánh. Suy ra tồn tại $x_0\neq 0 $mà $f(x_0)=0 $. Ta có $f(x_0+g(y))=x_0f(y)-yf(x_0)+g(x_0) $ suy ra $f(x_0+g(y))=x_0f(y)+g(x_0) $. Ta có $g(y) $ là đơn ánh, suy ra $f(y) $ cũng là đơn ánh, mà $f $ toàn ánh suy ra $f $ là song ánh. Theo nx3 thì $f(g(y))=g(0)-yf(0) $. Do $f $ là song ánh nên bắt buộc $g(y) $ là toàn ánh. Mà $g $ là đơn ánh suy ra $g $ cũng là song ánh.

Vậy cả $f $ và $g $ đều là song ánh. Tồn tại duy nhất $y_0 $ sao cho $g(y_0)=0 $. Ta có theo nx1 thì $f(y_0+g(y_0))=g(y_0) $ suy ra $f(y_0)=0 $. Lại có cho y=y_0 vào pt ban đầu ta có $f(x)=y_0f(x)+g(x) $ ( do $f(y_0)=g(y_0)=0 $). Đến đây ta có $f(x)=af(x) $. Và ta cũng có :

$f(y_0+g(y))=y_0f(y)-yf(y_0)+g(y_0)=y_0f(y) $. Do đó ta có

$f(y_0+g(x))=ay_0g(x) $. Do g là song ánh suy ra $f(x)=cx+d $. Hay ta thu được là $f(x)=cx+d $ và $g(x)=b(cx+d) $. Nhưng thay vào pt ban đầu thì ta không có hàm nào thỏa mãn ( với đk cả 2 là song ánh).

Kết luận $f=g=0 $ là nghiệm duy nhất.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 01-02-2008 lúc 12:58 PM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post:
dau lanh (26-08-2010), IMO 2010 (27-11-2010)
Old 14-01-2008, 08:34 PM   #7
conan236
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 287
Thanks: 17
Thanked 104 Times in 43 Posts
sao mọi người không làm bài của mình za?
đây là cách giải bài 1 của mình , mình cả thấy hơi dài bạn nào co' lời giải ngắn gọn post lên đây cho mình xem với
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y) $(1)
cho $x=y=2 $ ta được $f(4)+(f(2))^3=f(4)+2f(2){\Rightarrow}f(2)=2 $(do $f(x)>0 $)
lại cho $x=y=1 $ thì có $f(2)+(f(1))^2=3f(1){\Rightarrow}f(1)=1 $ hoặc $f(1)=2 $
1)TH1:$f(1)=2 $ cho $x=1 $ thì $f(x+1)=2 $
${\Rightarrow}f(x)=2 $ với mọi $x>1 $
với $0<x<1 $ thì chọn $y={\frac{1}{x}}>1 $ ta được
$f(x+{\frac{1}{x}})+f(x)f({\frac{1}{x}})=f(1)+f(x)+ f({\frac{1}{x}}) $
${\Rightarrow}2+2f(x)=2+2+f(x){\Rightarrow}f(x)=2 $
vậy trong TH này $f(x)=2 $ với mọi $x{\in}R^{+} $
2)TH2:cho $y=1 $ được $f(x+1)=f(x)+1 $ với mọi $x{\in}R^{+} $
bằng quy nạp dễ dàng suy ra $f(x+n)=f(x)+n $ và $f(n)=n $ , với mọi $n{\in}N* $(2)
tiếp tục ta chứng minh $f(x)=x $ với $x{\in}Q* $
thật vậy thay $x=n $ và $x={\frac{1}{n}} $ vào (1)
$f(n+{\frac{1}{n}})+f(n)f({\frac{1}{n}})=f(1)+f(n)+ f({\frac{1}{n}}) $
nhưng do (2) ta có:$f(n+{\frac{1}{n}})=n+f({\frac{1}{n}}) $
vậy $f({\frac{1}{n}})={\frac{1}{f(n)}}={\frac{1}{n}} $
tiếp tục cho $x=m,y={\frac{1}{n}} $ với $m,n{\in}N* $
thì dễ dàng suy ra được $f({\frac{m}{n}})={\frac{m}{n}} $
cho $y={\frac{x}{x-1}}>0{\Rightarrow}x+y=xy{\Rightarrow}f(x+y)=f(xy) $
do đó $f(x)f({\frac{x}{x-1}})=f(x)+f({\frac{x}{x-1}}) $
tiếp theo các bạn tự chứng minh f đồng biến với $x{\in}R^{*} $
bằng cách chia nhỏ các TH $0<x<y<1 $ và $1<x<y $
cái này không quá khó nha
cuối cùng với $x>0 $ chọn hai dãy số hữu tỉ $(u_n) $ và $(v_n) $ sao cho:$u_n{\ge}x{\ge}v_n $ và $lim{u_n}=lim{v_n}=x $
khi đó do f đồng biến $f(u_n){\ge}f(x){\ge}f(v_n){\Rightarrow}u_n{\ge}f(x ){\ge}v_n $
${\Rightarrow}f(x)=x $
Vậy có hai hàm thỏa đề bài là $f(x)=2 $ và $f(x)=x $
bài này giải tuy dài nhưng cũng khá tự nhiên bởi lẽ khi giải ra đến $f(x+1)=f(x)+1 $ thì cách giải quen thuộc là dùng tính chất đồng biến.Nếu bạn nào có cách giải hay thì post lên nha
mong các bạn tiếp tục cố gắng va giải bài tổng quát IMO 1992 đi nha:burnjossstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: conan236, 14-01-2008 lúc 08:39 PM
conan236 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to conan236 For This Useful Post:
blackholes. (30-12-2012), boyfyjero (31-12-2011), Conanvn (21-01-2013), cool hunter (01-07-2013), IMO 2010 (27-11-2010), nguyenhtctb (20-05-2011), Tien_Quan2011 (12-04-2011)
Old 14-01-2008, 08:59 PM   #8
conan236
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 287
Thanks: 17
Thanked 104 Times in 43 Posts
gửi thêm cho topic 1 bài khá hay nữa nè::adore:
Tìm tất cả các hàm liên tục $f:R{\rightarrow}R $thỏa mãn $f({\sqrt{x^2+y^2}})=f(x)+f(y) $
tổng quát Tìm tất cả các hàm liên tục $f:R{\rightarrow}R $ thỏa mãn
$f({\sqrt[n]{x^n+y^n}})=f(x)+f(y) $ với $n{\in}N* $:burnjossstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
conan236 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to conan236 For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010), Ngô_Trung_Hiếu (02-01-2011), nguyenhtctb (20-05-2011)
Old 14-01-2008, 10:30 PM   #9
Quân -k47DHV
+Thành Viên Danh Dự+
 
Quân -k47DHV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Đến từ: Đại Học Y Hà Nội
Bài gởi: 421
Thanks: 5
Thanked 105 Times in 80 Posts
bài 2 của conan có trong quyển pth của tác giả nguyễn trọng tuấn mà nếu giải tổng quát bậc n phải đến 2 mặt giấy ,tạm thời là bậ 2 đã
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Quân -k47DHV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Quân -k47DHV For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010), Ngô_Trung_Hiếu (02-01-2011)
Old 14-01-2008, 10:55 PM   #10
Quân -k47DHV
+Thành Viên Danh Dự+
 
Quân -k47DHV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Đến từ: Đại Học Y Hà Nội
Bài gởi: 421
Thanks: 5
Thanked 105 Times in 80 Posts
thế $y = 0 , f(x^{2} + a ) = f(x)^{2} . $
dễ có $f(x) = f(-x) $ hoặc $f(x) = -f(-x) $ .dễ cm dc không tồn tại $a,b $để $f(a) = f(-a ) $,và $f(b) = -f(-b). $
khi đó thé $x = 0 ,f(f(y)) = y+a^{2} $ nên $f(x) $ song ánh nên tồn tại a để $f(a) = 0 $
nếu $f(x) = f(-x) $ thì $f(a) = f(-a) $ mà cm được$ f(x) $ đơn ánh nên a = -a suy ra a =0 .
$f(0) = 0 $
khi đó thế $y = f(y) $ suy ra $f(x^{2} + y) = f(y) =f(x^{2} ) $ tức là $f(x) $ +$f(y) $=$ f(x+y) $ với mọi $x,y $ thuộc$ R^{+} $. mà $f(x^{2} ) = f(x)^{2} > 0 $ nên $f(x) > 0 $ với mọi $x $ thuộc $R^{+} . $
thế thì $f $ tăng và $f(x) = x $ với x thuộc $Q^{+} $ .Sử dụng tính trù mật dc $f(X) $= $x $ với mọi $x $ thuộc $R $ .
th khi $f(x) =-f(-x) $ không xảy ra.
thế là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Quân -k47DHV, 29-01-2008 lúc 10:09 PM
Quân -k47DHV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Quân -k47DHV For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 18-01-2008, 01:25 PM   #11
emut
+Thành Viên+
 
emut's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 26
Thanks: 1
Thanked 2 Times in 2 Posts
Các sư huynh gởi bài gì mà giải dài thế làm bài PTH cũ của đệ đi ...
Trích:
Nguyên văn bởi emut View Post
Cho đa thức P(x) thỏa
(x-1)P(2007x)=$2007^{2007} $(P(x)(x-2007)+$2007^{2008} $-1)
Bài này giải có 3 dòng à...
Thử đi nhé
__________________
I'M RETURNING

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
emut is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to emut For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 18-01-2008, 10:55 PM   #12
dungth
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Bài gởi: 22
Thanks: 0
Thanked 3 Times in 3 Posts
:D

Trích:
Nguyên văn bởi Quân -k47DHV View Post
bài 2 của conan có trong quyển pth của tác giả nguyễn trọng tuấn mà nếu giải tổng quát bậc n phải đến 2 mặt giấy ,tạm thời là bậ 2 đã
Xin lỗi mọi người, cho em spam 1 chút. Anh Quân ơi, cho em hỏi quyển PTH của tác giả Nguyễn Trọng Tuấn bây giờ có ở đâu, hay là có bản ebook của nó ko ạ? Em đi tìm mãi mà chẳng thấy:cry::cry:

p/s : cái quyển đó anh mua ở hiệu sách ,em cứ tìm đi chắc là có
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Quân -k47DHV, 23-01-2008 lúc 05:29 PM
dungth is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to dungth For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 20-01-2008, 09:17 AM   #13
Quân -k47DHV
+Thành Viên Danh Dự+
 
Quân -k47DHV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Đến từ: Đại Học Y Hà Nội
Bài gởi: 421
Thanks: 5
Thanked 105 Times in 80 Posts
bài anh Quý chỉ cần đặt thêm ẩn

$f(x) -f(y) = f(x) - f(z) + f(z) - f(y) = (z-x)f(xz) + (y-z)f(yz) = (y-x)f(xy) $

chia cả 2 vế cho $xyz $rồi cố định $y,z $ dc f$(x) = \frac{m}{x} +n $

thay hàm này vào ....
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LƯƠNG Y KIÊM TỪ MẪU
Quân -k47DHV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Quân -k47DHV For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010), magic. (01-01-2011)
Old 20-01-2008, 09:19 AM   #14
Quân -k47DHV
+Thành Viên Danh Dự+
 
Quân -k47DHV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Đến từ: Đại Học Y Hà Nội
Bài gởi: 421
Thanks: 5
Thanked 105 Times in 80 Posts
thêm một bài đặt ẩn như trên

tìm $f R -->R $ , $ f $dơn diệu thực sự ,$g $liên tục tm
$f(x+y) = f(x)g(y) + f(y) . $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LƯƠNG Y KIÊM TỪ MẪU
Quân -k47DHV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Quân -k47DHV For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 20-01-2008, 02:14 PM   #15
dong1919
Sư tổ Kim Dung-CÁI BANG
 
dong1919's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: A1K35PBC-Nghệ An
Bài gởi: 291
Thanks: 0
Thanked 33 Times in 23 Posts
Uhm mấy cái đặt thêm ẩn này là một dạng rất thú vị của pt hàm
bài quân thì $ f(x+y+z)=f(x+y)g(z)+f(z)=f(x)g(y)g(z)+f(y)g(z)+f(z )=f(x)g(y+z)+f(y+z)=f(x)g(y+z)+f(y)g(z)+f(z) $
=>$ g(y)g(z)=g(y+z) $
Cái này đặt $ g(x)=e^{h(x)} $ là có $ h(x)+h(y)=h(x+y) $
DOne
Dĩ nhiên cả 2 bài của anh Traum và chú Quân còn giải = kiểu thường ngày vẫn giải nữa , dành cho bạn khác
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 13-11-2010 lúc 11:27 AM
dong1919 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to dong1919 For This Useful Post:
conga1qt (14-03-2009), IMO 2010 (27-11-2010), magic. (01-01-2011), n.v.thanh (13-11-2010), ngoclong (05-12-2009), nguyenhtctb (14-01-2011)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
phương trình hàm, đa thức

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:02 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 109.87 k/126.80 k (13.35%)]