Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-07-2011, 08:05 PM   #1
Lan Phuog
+Thành Viên Danh Dự+
 
Lan Phuog's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: Thái Bình
Bài gởi: 564
Thanks: 289
Thanked 326 Times in 182 Posts
Topic về bất đẳng thức (2)

Trích:
Cho $x,y,z>0,xyz=1 $. Cmr: $\sum \frac{x^3}{z^3}(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2})^2 \ge \sum (\frac{x^4}{y}+\frac{x}{y^4})+2\sum\frac{x^2}{y^2} $
bđt này có thể cm bằng việc sdụng Vornicu Schur,thông qua các bước đổi biến: $(x,y,z)-(\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}) $ và $(a^3,b^3,c^3)-(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Lan Phuog, 10-07-2011 lúc 08:19 PM
Lan Phuog is offline  
The Following 3 Users Say Thank You to Lan Phuog For This Useful Post:
MathForLife (10-07-2011), symaoxinhxan (20-08-2011), thinhptnk (04-01-2012)
Old 10-07-2011, 08:18 PM   #2
birain9x
+Thành Viên+
 
birain9x's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 119
Thanks: 28
Thanked 41 Times in 23 Posts
Cho a,b,c>0.CMR
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
birain9x is offline  
Old 10-07-2011, 08:29 PM   #3
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi birain9x View Post
Cho a,b,c>0.CMR
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}} $
Lời giải của mình ở đây, bạn tham khảo nhé .

[Only registered and activated users can see links. ]

Bất đẳng thức mạnh hơn vẫn đúng nếu thay số $4 $ bởi số $5 $ hoặc $6 $ (tất nhiên cách chứng minh khó khăn hơn rất nhiều và khó có lời giải đẹp)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline  
The Following 3 Users Say Thank You to leviethai For This Useful Post:
birain9x (10-07-2011), hien123 (10-07-2011), ilovehien95 (16-07-2011)
Old 10-07-2011, 09:03 PM   #4
11112222
+Thành Viên+
 
11112222's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: Địch Nhân Kiệt' house
Bài gởi: 55
Thanks: 15
Thanked 10 Times in 9 Posts
Bất đẳng thức hoán vị

Cho $a,b,c \ge 0 $. Chứng minh :
$\sum \frac{a}{b}\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
11112222 is offline  
Old 10-07-2011, 09:06 PM   #5
Mệnh Thiên Tử
+Thành Viên+
 
Mệnh Thiên Tử's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: my home
Bài gởi: 266
Thanks: 128
Thanked 126 Times in 92 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Mệnh Thiên Tử
Ta có :

$\sum \frac{a}{b}=\sum \frac{a^2}{ab} $
Dùng bđt Cauchy - Schwarz :

$\sum \frac{a^2}{ab}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum ab} $
Nhưng :

$\frac{(\sum a)^2}{\sum ab}=\frac{\sum a^2}{\sum ab}+2 $
Được đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Thà Chịu Hi SinhCòn Hơn Chịu Chết
Mệnh Thiên Tử is offline  
The Following 3 Users Say Thank You to Mệnh Thiên Tử For This Useful Post:
AnhIsGod (24-03-2012), aresenlupin.co (30-04-2012), bboy114crew (16-07-2011)
Old 10-07-2011, 09:07 PM   #6
Joe Dalton
+Thành Viên+
 
Joe Dalton's Avatar
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 52
Thanks: 2
Thanked 28 Times in 22 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 11112222 View Post
Cho $a,b,c \ge 0 $. Chứng minh :
$\sum \frac{a}{b}\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2 $
Đề bài chính xác phải là $a,b,c>0 $.
Khi đó áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có
$\sum \frac{a}{b} = \sum \frac{a^2}{ab} \ge \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} = \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Joe Dalton is offline  
The Following User Says Thank You to Joe Dalton For This Useful Post:
Mr_Trang (16-07-2011)
Old 10-07-2011, 09:43 PM   #7
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daitoancvp View Post
Chứng minh BĐT sau bằng 3 cách
(TST VN 2006)
. Cho $x,y,z $ thuộc đoạn $[1;2] $. Chứng minh rằng:
$(x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge 6\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right) $
Chào thầy, em xin trình bày cách giải bằng phương pháp dồn biến:
Do bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên khoảng $\left [ 1;2 \right ] $ có thể thay thế bởi khoảng $\left [ k;2k \right ] $ bất kì.
Không mất tính tổng quát, giả sử $c=max\left \{ a;b;c \right \} $ . Bất đẳng thức ở đề bài tương đương với:

$(a+b+c)\left ( \frac{6}{b+c}+\frac{6}{c+a}+\frac{6}{a+b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c} \right )\le 18 $

Chuẩn hoá $a+b+c=3 $, cần chứng minh:

$\frac{6}{b+c}+\frac{6}{c+a}+\frac{6}{a+b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\le 6 $

Đặt $2t=a+b $ và $f(a;b;c)=\frac{6}{b+c}+\frac{6}{c+a}+\frac{6}{a+b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c} $

Xét hiệu:

$f(a;b;c)-f(t;t;c)=\frac{6}{b+c}+\frac{6}{c+a}-\frac{24}{2c+a+b}-\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b} \right ) $

$=(a-b)^2\left ( \frac{6}{(b+c)(c+a)(2c+a+b)}-\frac{1}{ab(a+b)} \right )\le 0 $

Thật vậy, vì cách chọn c nên:

$(a+c)(b+c)(2c+a+b)\ge 2a.2b.2(a+b)>6ab(a+b) $

Vậy chỉ cần chứng minh: $f(t;t;c)\le 6 $
Thay $c=3-2t $ và biểu thức, ta được dạng tương đương:

$\frac{(t-1)^2(4t-3)}{t(3-2t^2)(3-t)}\ge 0 $

Mà $2t\ge 2\ge c $ nên

$4t\ge 2t+c=3\Rightarrow 4t-3\ge 0 $


Kết hợp với trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c $ hoặc $(a;b;c)=(k;k;2k) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 10-07-2011 lúc 09:46 PM Lý do: Xấu
MathForLife is offline  
The Following 5 Users Say Thank You to MathForLife For This Useful Post:
AnhIsGod (24-03-2012), hanhphuc254 (27-07-2011), hgly1996 (25-03-2012), H_scorpio_95 (03-08-2011), Mr_Trang (02-08-2011)
Old 10-07-2011, 11:21 PM   #8
hien123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An
Bài gởi: 353
Thanks: 19
Thanked 261 Times in 165 Posts
Bài toán của anh Phạm Hữu Đức:
Nếu a, b, c là các số thưc dương thì ta có BĐT:
$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq \sqrt{6.\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}}
$
@ Leviethai: Cho em hỏi nếu mũ 6 thì giải như thế, em được biết nó đang unsolved trên mathlinks
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$z=\left | z \right |e^{i\varphi } $
hien123 is offline  
Old 11-07-2011, 08:33 AM   #9
kid3494
+Thành Viên+
 
kid3494's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 53
Thanks: 31
Thanked 9 Times in 7 Posts
Các bạn giúp mình bài tập này :
Cho $\left\{\begin{matrix}
x, y, z > 1 & \\
x + y + z = xyz &
\end{matrix}\right. $
Tìm min $\frac{x - 2}{y^{2}} + \frac{y - 2}{z^{2}} + \frac{z - 2}{x^{2}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kid3494 is offline  
Old 11-07-2011, 09:50 AM   #10
birain9x
+Thành Viên+
 
birain9x's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 119
Thanks: 28
Thanked 41 Times in 23 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kid3494 View Post
Các bạn giúp mình bài tập này :
Cho $\left\{\begin{matrix}
x, y, z > 1 & \\
x + y + z = xyz &
\end{matrix}\right. $
Tìm min $\frac{x - 2}{y^{2}} + \frac{y - 2}{z^{2}} + \frac{z - 2}{x^{2}} $
Đặt P là bt ở đề bài.Ta có $P=\sum (\frac{x-2}{y^2}+\frac{1}{y})-\sum (\frac{1}{y})=\sum (\frac{(x-1)+(y-1)}{y^2})-\sum \frac{x+y+z}{xyz} $
Suy ra $P=\sum (x-1)(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2})-\frac{x+y+z}{xyz}\geq \sum \frac{2(x-1)}{xy}-\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}-2 $
Mà $(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)=3(xyz)^2 $ nên $\frac{xy+yz+zx}{xyz}\geq \sqrt 3 $.
Vậy $P\geq \sqrt3-2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
birain9x is offline  
The Following 6 Users Say Thank You to birain9x For This Useful Post:
AnhIsGod (24-03-2012), hanhphuc254 (27-07-2011), Mr_Trang (16-07-2011), Nts_pbc (21-08-2011), tungminh159 (04-01-2012), xtungftu (21-08-2011)
Old 11-07-2011, 10:20 AM   #11
asdfghj
+Thành Viên+
 
asdfghj's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Hải Dương
Bài gởi: 214
Thanks: 139
Thanked 128 Times in 71 Posts
Cho $abc=1 $
Tìm giá trị lớn nhất của
$M=\frac{a}{b^2+c^2+a}+\frac{b}{a^2+c^2+b}+\frac{c} {b^2+a^2+c} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
asdfghj is offline  
The Following User Says Thank You to asdfghj For This Useful Post:
Mr_Trang (16-07-2011)
Old 11-07-2011, 11:14 AM   #12
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi asdfghj View Post
Cho $abc=1 $
Tìm giá trị lớn nhất của
$M=\frac{a}{b^2+c^2+a}+\frac{b}{a^2+c^2+b}+\frac{c} {b^2+a^2+c} $
Viết bài toán dưới dạng :Cho $abc=1 $ và a,b,c dương và ta đi chứng minh $\sum \frac{a^3}{b^6+c^6+a^3}\leqslant 1
\Leftrightarrow \sum \frac{a^4bc}{b^6+c^6+a^4bc}\leqslant 1 $
Sử dụng bổ đề cơ bản $b^6+c^6\geqslant bc(b^4+c^4) $
Ta suy ra
$\sum \frac{a^4bc}{b^6+c^6+a^4bc}\leqslant \sum \frac{a^4bc}{bc(b^4+c^4)+a^4bc}=\sum \frac{a^4}{a^4+b^4+c^4}=1 $

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khtoan is offline  
The Following 6 Users Say Thank You to khtoan For This Useful Post:
AnhIsGod (24-03-2012), honam12b (13-12-2011), Mệnh Thiên Tử (11-07-2011), nhox12764 (13-11-2011), tungminh159 (04-01-2012), xtungftu (21-08-2011)
Old 11-07-2011, 11:48 AM   #13
Nguyenhuyen_AG
+Thành Viên+
 
Nguyenhuyen_AG's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 298
Thanks: 35
Thanked 307 Times in 151 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi birain9x View Post
Đặt P là bt ở đề bài.Ta có $P
\ge\frac{xy+yz+zx}{xyz}-2 $
Ngoài ra bất đẳng thức này còn có thể chứng minh nhờ vào đánh giá sau đây

$xy^2z^2(y-z)^2\ge 0,\;\;yz^2x^2(z-x)^2\ge 0,\;\;zx^2y^2(x-y)^2\ge 0 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University of Transport
Nguyenhuyen_AG is offline  
Old 11-07-2011, 12:45 PM   #14
Mệnh Thiên Tử
+Thành Viên+
 
Mệnh Thiên Tử's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: my home
Bài gởi: 266
Thanks: 128
Thanked 126 Times in 92 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Mệnh Thiên Tử
Cho$ a,b,c \in [1;3] $và a+b+c = 6
Chứng minh : $a^{3}+b^3+c^3\leq 36 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Thà Chịu Hi SinhCòn Hơn Chịu Chết

thay đổi nội dung bởi: Mệnh Thiên Tử, 11-07-2011 lúc 02:17 PM
Mệnh Thiên Tử is offline  
Old 11-07-2011, 01:25 PM   #15
daiduong1095
+Thành Viên+
 
daiduong1095's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CVP-Math
Bài gởi: 287
Thanks: 13
Thanked 210 Times in 112 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới daiduong1095
Trích:
Nguyên văn bởi Mệnh Thiên Tử View Post
Cho$ a,b,c \geq 0 $và a+b+c = 6
Chứng minh : $a^{3}+b^3+c^3\leq 36 $
Đề bài hay vậy.Cho $a=6 ,b=c=0 $ suy ra SAI!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
daiduong1095 is offline  
The Following 2 Users Say Thank You to daiduong1095 For This Useful Post:
AnhIsGod (24-03-2012), v.t.t_96 (28-12-2011)
Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:41 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 101.63 k/118.02 k (13.89%)]