Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-07-2011, 02:17 PM   #16
Mệnh Thiên Tử
+Thành Viên+
 
Mệnh Thiên Tử's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: my home
Bài gởi: 266
Thanks: 128
Thanked 126 Times in 92 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Mệnh Thiên Tử
Xin lỗi , ghi nhầm điều kiện :
$a,b,c \in [1;3] $và a +b +c = 6
Chứng minh $a^3+b^3+c^3 \leq 36 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Thà Chịu Hi SinhCòn Hơn Chịu Chết
Mệnh Thiên Tử is offline  
Old 11-07-2011, 02:53 PM   #17
birain9x
+Thành Viên+
 
birain9x's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Bài gởi: 119
Thanks: 28
Thanked 41 Times in 23 Posts
Đặt $a=x+1,b=y+1,c=z+1 $ thì $x,y,z $ thuộc $[0,2] $ và $x+y+z=3 $.
Ta cần cm $x^3+y^3+z^3+3(x^2+y^2+z^2)\leq 24 $
Giả sử $z=max(x,y,z) $ thì $z \geq 1 $
Ta có $x^3+y^3+z^3+3(x^2+y^2+z^2) \leq (x+y)^3+z^3+3(x+y)^2+3z^2=15z^2-45z+54=15(z-1)(z-2)+24 \leq 24 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
birain9x is offline  
The Following 5 Users Say Thank You to birain9x For This Useful Post:
Jack.ckl (30-11-2011), Mệnh Thiên Tử (11-07-2011), thaibinh (11-07-2011), TNP (06-04-2012), xtungftu (22-08-2011)
Old 11-07-2011, 03:08 PM   #18
thaibinh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Thành phố Vinh
Bài gởi: 48
Thanks: 19
Thanked 12 Times in 9 Posts
Một bài tương tự.
Cho $a,b,c\in \left [ 0;2 \right ];a+b+c=3.
CMR: a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
thaibinh is offline  
Old 11-07-2011, 03:19 PM   #19
daiduong1095
+Thành Viên+
 
daiduong1095's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CVP-Math
Bài gởi: 287
Thanks: 13
Thanked 210 Times in 112 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới daiduong1095
Trích:
Nguyên văn bởi hien123 View Post
Bài toán của anh Phạm Hữu Đức:
Nếu a, b, c là các số thưc dương thì ta có BĐT:
$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq \sqrt{6.\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}}
$
Mình làm thế này:
Chuẩn hóa $abc=1 $
BDT cần cm $\Leftrightarrow \sum\frac{b+c}{a}+2\sum\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{bc} } \ge 6(a+b+c) $
Mà $2\sum\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{bc}} \ge 2\sum \frac{a+\sqrt{bc}}{\sqrt{bc}}=2\sum a\sqrt{a}+6 $(C-S)
$=\sum(a\sqrt{a}+a\sqrt{a}+1)+3 \ge 3(a+b+c)+3 $

Do đó ta chỉ cần cm:
$\sum\frac{b+c}{a}+3 \ge 3(a+b+c) $ là xong!
Mà BDT này $\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \ge 3(a+b+c) $
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 3 $.Hiển nhiên theo BDT AM-GM
Suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
daiduong1095 is offline  
The Following 6 Users Say Thank You to daiduong1095 For This Useful Post:
AnhIsGod (24-03-2012), anh_96 (11-11-2011), hoangcongduc (12-07-2011), ilovehien95 (11-07-2011), lovemath102 (26-07-2011), TtTtTtTt (11-07-2011)
Old 11-07-2011, 03:24 PM   #20
symaoxinhxan
+Thành Viên+
 
symaoxinhxan's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 112
Thanks: 59
Thanked 83 Times in 49 Posts
Hoàn toàn tương tự như bài của bạn birain9x;
Không mất tính tổng quát giả sử c max dẫn đến 1 $\leq $ c
$a^3+b^3+c^3\leqslant (a+b)^3+c^3=(3-c)^3+c^3\leq 9\Leftrightarrow (c-1)(c-2)\leq 0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
symaoxinhxan is offline  
The Following User Says Thank You to symaoxinhxan For This Useful Post:
TtTtTtTt (11-07-2011)
Old 11-07-2011, 03:56 PM   #21
thaibinh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Thành phố Vinh
Bài gởi: 48
Thanks: 19
Thanked 12 Times in 9 Posts
Cho các số thực không âm a,b,c: $a+b+c=3;CMR:2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+a^{2}b^{2}c^{2}\geq 7 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
thaibinh is offline  
Old 11-07-2011, 04:14 PM   #22
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi thaibinh View Post
Cho các số thực không âm a,b,c: $a+b+c=3;CMR:2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+a^{2}b^{2}c^{2}\geq 7 $
Đặt
$a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r $
Theo bất đẳng thức Cô si $q\leq 3 $

Theo Schur bậc 3 $r\geqslant \frac{4q-9}{3} $
Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ,ta được bất đẳng thức hiển nhiên đúng

$(16q-60)(q-3)\geqslant 0 $

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khtoan is offline  
Old 11-07-2011, 04:20 PM   #23
symaoxinhxan
+Thành Viên+
 
symaoxinhxan's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 112
Thanks: 59
Thanked 83 Times in 49 Posts
Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r $
Theo bdt Schur ta có:$r\geqslant \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4q-9}{3}(p=3) $
Bdt cần chứng minh$\Leftrightarrow 2(3^2-2q)+\frac{(4q-9)^2}{9}\geq 7\Leftrightarrow (q-3,75)(q-3)\leqslant 0 $
Đúng theo Côsi:$q\leqslant 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
symaoxinhxan is offline  
Old 11-07-2011, 07:14 PM   #24
daiduong1095
+Thành Viên+
 
daiduong1095's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CVP-Math
Bài gởi: 287
Thanks: 13
Thanked 210 Times in 112 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới daiduong1095
Trích:
Nguyên văn bởi thaibinh View Post
Cho các số thực không âm a,b,c: $a+b+c=3;CMR:2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+a^{2}b^{2}c^{2}\geq 7 $
Bài này thì có cách khác như sau:
BDT cần cm $\Leftrightarrow 2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+a^{2}b^{2}c^{2}+2\geq 9=(a+b+c)^2 $
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+a^2b^2c^2+2 \ge 2(ab+bc+ca) $
Mà $a^2b^2c^2+1 \ge 2abc $
Do vậy ta chỉ cần cm:
$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge 2(ab+bc+ca) $
BDT này quen quá rồi


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
daiduong1095 is offline  
The Following 2 Users Say Thank You to daiduong1095 For This Useful Post:
hoangcongduc (12-07-2011), lovemath102 (26-07-2011)
Old 11-07-2011, 09:52 PM   #25
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Bài này nhìn cũng đẹp

Cho $a,b,c>0 $. Cm $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le \frac{3}{2}.\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{a b+bc+ca} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline  
Old 11-07-2011, 10:10 PM   #26
Nguyenhuyen_AG
+Thành Viên+
 
Nguyenhuyen_AG's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 297
Thanks: 35
Thanked 306 Times in 150 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Conan Edogawa View Post
Bài này nhìn cũng đẹp

Cho $a,b,c>0 $. Cm $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le \frac{3}{2}.\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{a b+bc+ca} $
Chú ý rằng

$\frac{a(ab+bc+ca)}{b+c}=a^2+\frac{abc}{b+c} $

nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$a^2+b^2+c^2+abc\left (\frac{1}{b+c} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{b+c} \right )\le\frac{3}{2}\left (a^2+b^2+c^2 \right ) $

hay là

$abc\left (\frac{1}{b+c} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{b+c} \right )\le\frac{1}{2}\left (a^2+b^2+c^2 \right ) $

Sử dụng đánh giá

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b} $

ta có

$abc\left (\frac{1}{b+c} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{b+c} \right )\le \frac{abc}{2}.\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right ) $

Từ đó đưa bài toán về chứng minh

$\frac{abc}{2}.\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right )\le \frac{a^2+b^2+c^2}{2} $

hay là

$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca. $

Đây là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University of Transport

thay đổi nội dung bởi: Nguyenhuyen_AG, 11-07-2011 lúc 10:16 PM
Nguyenhuyen_AG is offline  
The Following 6 Users Say Thank You to Nguyenhuyen_AG For This Useful Post:
AnhIsGod (24-03-2012), Conan Edogawa (11-07-2011), ilovehien95 (11-07-2011), lovemath102 (26-07-2011), Mệnh Thiên Tử (12-07-2011), nhox12764 (06-10-2011)
Old 11-07-2011, 10:16 PM   #27
symaoxinhxan
+Thành Viên+
 
symaoxinhxan's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 112
Thanks: 59
Thanked 83 Times in 49 Posts
Chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=3 $.Ta có:
BDT cần chứng minh
$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c}\leqslant \frac{9}{2(ab+bc+ca)}\Leftrightarrow \sum a^2+\sum \frac{abc}{b+c}\leqslant \frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{abc}{b+c}\leq \frac{3}{2} $
Ta có:$b+c\geq 2\sqrt{bc}\Rightarrow\frac{abc}{b+c}\leq \frac{abc}{2\sqrt{bc}}=\frac{a\sqrt{bc}}{2}\leq a^2+bc\leq a^2+\frac{b^2+c^2}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
symaoxinhxan is offline  
The Following User Says Thank You to symaoxinhxan For This Useful Post:
TtTtTtTt (11-07-2011)
Old 11-07-2011, 10:49 PM   #28
DaiToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 280
Thanks: 29
Thanked 361 Times in 123 Posts
Cho n số thực dương $\[
a_1 ,a_2 ,...a_n
\]
$thoả mãn $\[
a_1 + a_2 + ... + a_n = 2n \]
$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\[
P = \sqrt {a_1^3 + 1} + \sqrt {a_1^3 + 1} + ... + \sqrt {a_n^3 + 1}
\]
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DaiToan is offline  
Old 11-07-2011, 11:33 PM   #29
avip
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 392
Thanks: 135
Thanked 247 Times in 159 Posts
Nhờ mọi người bài này:
Cho bộ số $(a_i) $ gồm $n $ số nguyên dương thỏa $\sum_{i=1}^n a_i = 100 $.
Tìm GTLN của $P = \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{\sum_{k=i}^n a_k} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
VIẾT CÁI CHỮ KÍ ĐỂ KHI EDIT BÀI ĐỠ XẤU
avip is offline  
Old 12-07-2011, 09:51 AM   #30
phaituankhan19
+Thành Viên+
 
phaituankhan19's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 271
Thanks: 299
Thanked 126 Times in 85 Posts
Cho ba số $$$a,b,c > 0$$ $ thỏa mãn $$$a + b + c = 1006$$ $. Chứng minh rằng

$$$\sqrt {2012a + {{{{\left( {b - c} \right)}^2}} \over 2}} + \sqrt {2012b + {{{{\left( {c - a} \right)}^2}} \over 2}} + \sqrt {2012c + {{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over 2}} \le 2012\sqrt 2 $$ $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: phaituankhan19, 12-07-2011 lúc 04:23 PM
phaituankhan19 is offline  
Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:42 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 97.56 k/113.32 k (13.91%)]