Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-07-2011, 10:29 AM   #31
Lil.Tee
+Thành Viên+
 
Lil.Tee's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Y15 - Khoa Vật Lí - Đại học Sư phạm Hà Nội
Bài gởi: 53
Thanks: 480
Thanked 130 Times in 48 Posts
Cho $a,b,c>0, a+b+c=3. $ Chứng minh:

$\frac{a+b}{ab+3}+\frac{b+c}{bc+3}+\frac{c+a}{ca+3} \ge \frac{3}{2} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Lil.Tee is offline  
Old 12-07-2011, 11:56 AM   #32
daiduong1095
+Thành Viên+
 
daiduong1095's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CVP-Math
Bài gởi: 287
Thanks: 13
Thanked 210 Times in 112 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới daiduong1095
Trích:
Nguyên văn bởi Lil.Tee View Post
Cho $a,b,c>0, a+b+c=3. $ Chứng minh:

$\frac{a+b}{ab+3}+\frac{b+c}{bc+3}+\frac{c+a}{ca+3} \ge \frac{3}{2} $
BDT cần cm tương đương với :
$4abc(ab+bc+ca)+6(a+b+c)(ab+bc+ca)+18abc+36(a+b+c) \ge 3(a^2b^2c^2+3abc(a+b+c)+9(ab+bc+ca)+27) $
$\Leftrightarrow 4qr+27 \ge 3r^2+9r+9q $

Ta có:$3r^2+9r+q(9-4r) \le3r^2+9r+3(9-4r)=3r(r-1)+27 \le 27 \Rightarrow $ đpcm.



[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
daiduong1095 is offline  
The Following User Says Thank You to daiduong1095 For This Useful Post:
nhox12764 (14-11-2011)
Old 12-07-2011, 12:28 PM   #33
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daitoancvp View Post
Cho n số thực dương $\[
a_1 ,a_2 ,...a_n
\]
$thoả mãn $\[
a_1 + a_2 + ... + a_n = 2n \]
$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\[
P = \sqrt {a_1^3 + 1} + \sqrt {a_2^3 + 1} + ... + \sqrt {a_n^3 + 1}
\]
$
Áp dụng mincopski:
$
P = \sqrt {a_1^3 + 1} + \sqrt {a_2^3 + 1} + ... + \sqrt {a_n^3 + 1} \geq \sqrt{(\sum a^\frac{3}{2}_i)^2+n^2}\geq \sqrt{8n^2+n^2}=3n
$

Vậy $Min_P=3n $ khi và chỉ khi $a_i=2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khtoan is offline  
The Following User Says Thank You to khtoan For This Useful Post:
innocent (12-07-2011)
Old 12-07-2011, 02:15 PM   #34
Lan Phuog
+Thành Viên Danh Dự+
 
Lan Phuog's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: Thái Bình
Bài gởi: 564
Thanks: 289
Thanked 326 Times in 182 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi phaituankhan19 View Post
Cho ba số $$$a,b,c > 0$$ $ thỏa mãn $$$a + b + c = 6$$ $. Chứng minh rằng

$$$\sqrt {2012a + {{{{\left( {b - c} \right)}^2}} \over 2}} + \sqrt {2012b + {{{{\left( {c - a} \right)}^2}} \over 2}} + \sqrt {2012c + {{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over 2}} \le 2012\sqrt 2 $$ $
Hình như có nhầm lẫn rùi. $a+b+c=1006 $ mới đúng. Khi đó giả sử $a $ là số lớn nhất và tách đôi căn thức t1 ra,sau đó C-S cho 4 số,đồng bậc 2vế,bình phương lên sẽ ra được bđt hiển nhiên đúng. Dấu = xra khi 1số ~1006 và 2số còn lại ~0.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Lan Phuog, 12-07-2011 lúc 02:18 PM
Lan Phuog is offline  
Old 12-07-2011, 04:04 PM   #35
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Conan Edogawa View Post
Bài này nhìn cũng đẹp

Cho $a,b,c>0 $. Cm $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le \frac{3}{2}.\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{a b+bc+ca} $
Đóng góp 1 cách nữa:
Cộng 3 cho mỗi vế ,ta viết lại bài toán dưới dạng :
$
\Leftrightarrow \sum \frac{a+b+c}{b+c}\leqslant 3.\frac{a^2+b^2+c^2}{2ab+2bc+2ca}+3 $

Điều này $\Leftrightarrow (a+b+c)(\sum \frac{1}{a+b})\leqslant \frac{3(a+b+c)^2}{2ab+2bc+2ca} $
$
\Leftrightarrow \sum \frac{ab+bc+ca}{a+b}\leqslant \frac{3}{2}(a+b+c) $
$\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{(a+b+c)}{2} $ (Dễ chứng minh được bằng AM-GM)

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra $
\Leftrightarrow a=b=c $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khtoan is offline  
The Following 2 Users Say Thank You to khtoan For This Useful Post:
Conan Edogawa (12-07-2011), Nts_pbc (21-08-2011)
Old 12-07-2011, 04:23 PM   #36
phaituankhan19
+Thành Viên+
 
phaituankhan19's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 271
Thanks: 299
Thanked 126 Times in 85 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Lan Phuog View Post
Hình như có nhầm lẫn rùi. $a+b+c=1006 $ mới đúng. Khi đó giả sử $a $ là số lớn nhất và tách đôi căn thức t1 ra,sau đó C-S cho 4 số,đồng bậc 2vế,bình phương lên sẽ ra được bđt hiển nhiên đúng. Dấu = xra khi 1số ~1006 và 2số còn lại ~0.
Tôi xin lỗi, tôi đánh đề bị nhầm mất, cảm ơn bạn Lan Phuog nhé. Tôi sẽ sửa lại đề ngay đây.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
phaituankhan19 is offline  
Old 12-07-2011, 04:38 PM   #37
king_math96
+Thành Viên+
 
king_math96's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2010
Đến từ: huyện lặng gió, tỉnh quan họ
Bài gởi: 170
Thanks: 156
Thanked 87 Times in 50 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi khtoan View Post
Bài này được chế từ ý tưởng bài Polish MO 2005 có nội dung như sau:Cho a,b,c là các số dương.CMR:

$3\sqrt[9]{\frac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^2}}+\sqrt[3]{\frac{6bc}{(a+b)(a+b+c)}}\leqslant 4 $

Đây là bài mình mới chế cũng theo ý tưởng trên
Cho a,b,c là các số dương.CMR:

$13\sqrt[13]{\frac{3b(a+2c)}{(a+b+c)(2a+b)}}+6\sqrt[6]{\frac{3a}{a+b+c}}\leqslant 19 $

Anh em thử sức nhá
cũng theo ý tưởng trên. Ta có:
$13.\sqrt[13]{\frac{3b(a+2c)}{(a+b+c)(2a+b)}} $$=13.\sqrt[13]{\frac{3b}{2b+a}.\frac{2b+a}{2a+b}.\frac{a+2c}{a+b +c}} $
$\leq \frac{3b}{2b+a}+ \frac{2b+a}{2a+b}+\frac{a+2c}{a+ b+c}+10. (1) $
Tương tự ta có: $6.\sqrt[6]{\frac{3a}{a+b+c}} \leq \frac{3a}{2a+b}+\frac{2a+b}{2b+a}+\frac{2b+a}{a+b+ c} +3 (2) $
Từ (1) và (2) ta cộng vế với vế suy ra ĐPCM. Dấu bằng khi và chỉ khi $a=b=c, $
------------------------------Cho 2n số thực dương $a_1,a_2,...a_n $ và $b_1,b_2,...b_n $ với n là số nguyên dương lớn hơn 1 thỏa mãn: $a_1.a_2...a_n=b_1.b_2...b_n $ và $b_1+b_2+...b_n=1 $;
$\sum{|a_i-a_j|} \leq \sum{|b_i-b_j|} $. với 1 $\leq i \leq j \leq n $
Tìm max của $A= a_1+a_2+...a_n. $
bài dưới là mình gõ sai, mod xóa giúp nhé. Thanks.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: king_math96, 12-07-2011 lúc 04:59 PM Lý do: Tự động gộp bài
king_math96 is offline  
Old 12-07-2011, 04:53 PM   #38
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Nice Solution king_math96,lời giải của bạn rất đúng và giống mình.1 bài nữa
Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng :
$\frac{1}{3abc}+\frac{2}{a^3+b^3+c^3+3abc}\geqslant \frac{1}{a^2b+b^2c+c^2a}+\frac{1}{ab^2+bc^2+ca^2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khtoan is offline  
Old 12-07-2011, 04:55 PM   #39
Uy_Vũ
+Thành Viên+
 
Uy_Vũ's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Dân tộc Mường
Bài gởi: 128
Thanks: 8
Thanked 68 Times in 40 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi phaituankhan19 View Post
Cho ba số $$$a,b,c > 0$$ $ thỏa mãn $$$a + b + c = 1006$$ $. Chứng minh rằng

$$$\sqrt {2012a + {{{{\left( {b - c} \right)}^2}} \over 2}} + \sqrt {2012b + {{{{\left( {c - a} \right)}^2}} \over 2}} + \sqrt {2012c + {{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over 2}} \le 2012\sqrt 2 $$ $
Chỉ cần chú ý:
$\sqrt{a(a+b+c)+\frac{(b-c)^2}{4}} \le a+\frac{b+c}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Giang hồ nổi gió từ đây.
Chuyên Anh
Uy_Vũ is offline  
The Following User Says Thank You to Uy_Vũ For This Useful Post:
khtoan (12-07-2011)
Old 12-07-2011, 05:15 PM   #40
DaiToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 280
Thanks: 29
Thanked 361 Times in 123 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daitoancvp View Post
Cho n số thực dương $\[
a_1 ,a_2 ,...a_n
\]
$thoả mãn $\[
a_1 + a_2 + ... + a_n = 2n \]
$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\[
P = \sqrt {a_1^3 + 1} + \sqrt {a_1^3 + 1} + ... + \sqrt {a_n^3 + 1}
\]
$
Thực ra mình tạo ra bài toán này là từ một trong hai bổ đề rat don gian sau:
Bổ đề 1: $\[
\sqrt {a^3 + 1} \ge \left| {2a - 1} \right|
\]
$
Bổ đề 2: $\[
a^3 + 1 \ge \frac{{(4a + 1)^3 }}{{81}}
\]
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: DaiToan, 12-07-2011 lúc 05:17 PM
DaiToan is offline  
Old 12-07-2011, 06:22 PM   #41
king_math96
+Thành Viên+
 
king_math96's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2010
Đến từ: huyện lặng gió, tỉnh quan họ
Bài gởi: 170
Thanks: 156
Thanked 87 Times in 50 Posts
Cho a,b,c là các số thực dương thỏan mãn: $a^3+b^3+c^3=3. $Tìm Max của:
$A= (a^5+b^5+c^5)(abc)^{\frac{10}{3}}
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
king_math96 is offline  
Old 12-07-2011, 09:06 PM   #42
daiduong1095
+Thành Viên+
 
daiduong1095's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CVP-Math
Bài gởi: 287
Thanks: 13
Thanked 210 Times in 112 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới daiduong1095
Trích:
Nguyên văn bởi king_math96 View Post
Cho a,b,c là các số thực dương thỏan mãn: $a^3+b^3+c^3=3. $Tìm Max của:
$A= (a^5+b^5+c^5)(abc)^{\frac{10}{3}}
$
Áp dụng BDT AM-GM ta có:$a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}} \ge 3\sqrt[3]{a^5b^5c^5}=3(abc)^{\frac{5}{3}} $

Suy ra:$9A=(a^5+b^5+c^5).3(abc)^{\frac{5}{3}} .3(abc)^{\frac{5}{3}} \le (a^5+b^5+c^5)(a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}}+ b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}})(a^ {\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}}) $
$\le \frac{(a^5+b^5+c^5+2a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}} + 2b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+2c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}})^3 }{27}=\frac{(a^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}}+ c^{\frac{5}{2}})^6}{27} $
Ta sẽ cm:$a^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}}+ c^{\frac{5}{2}} \le 3 $
Áp dụng AM-GM lần nữa ta có:
$5a^3+1=a^3+a^3+a^3+a^3+a^3+1 \ge 6\sqrt[6]{a^{15}}=6a^{\frac{5}{2}} $
Tương tự với b,c .Cộng vế theo vế suy ra đpcm.
Vậy max A bằng 3.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
daiduong1095 is offline  
The Following User Says Thank You to daiduong1095 For This Useful Post:
lovemath102 (11-08-2011)
Old 12-07-2011, 09:38 PM   #43
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Không cần chứng minh sao biết nó đúng nhỉ ?

Trích:
Trước hết xin giới thiệu một bổ đề quen thuộc mà không cần chứng minh
Cho a,b,c dương và $abc=1 $ thì

$\frac{a+b+c}{3}\geqslant \sqrt[3]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} $
Vì nó sai mất tiêu rồi .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline  
The Following User Says Thank You to leviethai For This Useful Post:
khtoan (12-07-2011)
Old 12-07-2011, 09:41 PM   #44
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Em chưa đọc bài của anh Hải mà em biết em làm sai rồi .Delete thôi
Em nhớ nhầm bổ đề thực ra cái đúng là:
$\frac{a+b+c}{3}\geqslant \sqrt[5]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} $
mà áp dụng cái này thì ra nhanh hơn nữa

Trích:
Nguyên văn bởi king_math96 View Post
Cho a,b,c là các số thực dương thỏan mãn: $a^3+b^3+c^3=3. $Tìm Max của:
$A= (a^5+b^5+c^5)(abc)^{\frac{10}{3}}
$
Trước hết xin giới thiệu một bổ đề quen thuộc mà không cần chứng minh
Bổ đề :Cho a,b,c dương và $abc=1 $ thì

$\frac{a+b+c}{3}\geqslant \sqrt[5]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} $

Trở lại bài toán. Viết lại bài toán dưới dạng thuần nhất:

$(a^3+b^3+c^3)^5\geq 81(a^5+b^5+c^5)(abc)^{\frac{10}{3}} $

Chuẩn hóa $abc=1 $,ta đi chứng minh

$(a^3+b^3+c^3)^5\geqslant 81(a^5+b^5+c^5) $(1)

Theo bổ đề :

$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^6+b^6+c^6}{3}}\Rightarrow (a^3+b^3+c^3)^5\geq 81(a^6+b^6+c^6) $

Thay vào (1) ta chỉ cần đi chứng minh:

$a^6+b^6+c^6\geq a^5+b^5+c^5 $ với $abc=1 $ (hiển nhiên đúng theo AM-GM)

từ đó ta kết luận $Max_A=3 \Leftrightarrow a=b=c=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khtoan, 12-07-2011 lúc 10:13 PM
khtoan is offline  
The Following User Says Thank You to khtoan For This Useful Post:
nhox12764 (14-11-2011)
Old 12-07-2011, 10:18 PM   #45
king_math96
+Thành Viên+
 
king_math96's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2010
Đến từ: huyện lặng gió, tỉnh quan họ
Bài gởi: 170
Thanks: 156
Thanked 87 Times in 50 Posts
Khtoan giải đúng rồi đó. Bài này mình tự chế, lời giải chỉ cần dùng điểm rơi trong AM-GM, mọi người thử suy nghĩ xem.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
king_math96 is offline  
Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:25 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 107.39 k/123.71 k (13.19%)]