Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-01-2012, 11:36 AM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
[VMO 2012] Bài 1 - Dãy số

Bài 1 (5 điểm).

Cho dãy số thực $(x_n) $ xác định bởi :
$\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}
$
với mọi $n\geq 2 $.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to\+\infty $ và Tính giới hạn đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 10-01-2013 lúc 08:49 PM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
huynhcongbang (11-01-2012), ngocson_dhsp (11-01-2012), nhox12764 (11-01-2012), silver soul (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 11:53 AM   #2
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,408
Thanks: 2,164
Thanked 4,162 Times in 1,377 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài 1 (5 điểm).
Cho dãy số thực $(x_n) $ xác định bởi :
$\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}
$
với mọi $n\geq 2 $.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to\+\infty $ và Tính giới hạn đó.
Xử bài này trước vậy.
Ta có:
$x_{n} - x_{n-1} = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2) - x_{n-1} = 2.\frac{n+2-(n-1)x_{n-1}}{3n} $.
Ta cũng tính được $x_2= \frac{20}{6} > \frac{5}{2} = \frac{2+3}{2} $.
Ta sẽ chứng minh rằng dãy này giảm với $n \ge 2 $ hay $x_{n-1} \ge \frac{n+2}{n-1}, \forall n \ge 3 $. (*)
Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
- Với $n=3 $ thì theo nhận xét trên thì (*) đúng.
- Giả sử ta có $x_{k-1} \ge \frac{k+2}{k-1}, k \ge 3 $.
Ta cần chứng minh $x_k \ge \frac{k+3}{k} $ hay $\frac{k+2}{3k}(x_{k-1}+2) \ge \frac{k+3}{k} $.

Ta chứng minh $\frac{k+2}{3k}(\frac{k+2}{k-1}+2) \ge \frac{k+3}{k} $.
Biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức này đúng.
Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.

Dãy số này giảm mà bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn, giả sử giới hạn đó là $k \ge 0 $.
Trong công thức đã cho, cho n tiến tới vô cực, ta được $a = \frac{1}{3}(a+2) $, suy ra $a=1 $.
Vậy giới hạn cần tìm là 1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 11-01-2012 lúc 12:16 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
Mệnh Thiên Tử (11-01-2012), nhox12764 (11-01-2012), secret_secret (11-01-2012), sine (11-01-2012), Unknowing (12-01-2012)
Old 11-01-2012, 11:55 AM   #3
shido_soichua
Maths is my life
 
shido_soichua's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Ninh Bình
Bài gởi: 300
Thanks: 31
Thanked 132 Times in 76 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới shido_soichua
Bài này dễ mà suýt nữa thì ko làm đc hic hic
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://luongvantuy.org/forum.php
Chuyên Văn - Lương Văn Tụy
shido_soichua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:00 PM   #4
mathstarofvn
+Thành Viên+
 
mathstarofvn's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: A1 LQĐ_ĐN
Bài gởi: 60
Thanks: 4
Thanked 19 Times in 13 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Xử bài này trước.
Ta có:
$x_{n} - x_{n-1} = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2) - x_-{n-1} = 2.\frac{n+2-(n-1)x_{n-1}}{3n} $.
Ta sẽ chứng minh rằng dãy này giảm với $n \ge 2 $ hay $x_{n-1} \ge \frac{n+2}{n-1}, \forall n \ge 2 $.
Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
- Với $n=2 $ thì $x_1 = 3 $, đúng.
- Giả sử ta có $x_{k-1} \ge \frac{k+2}{k-1} $.
Ta cần chứng minh $x_k \ge \frac{k+3}{k} $ hay
$\frac{k+2}{3k}(x_{k-1}+2) \ge \frac{k+3}{k} $.
Ta chứng minh $\frac{k+2}{3k}(\frac{k+2}{k-1}+2) \ge \frac{k+3}{k} $.
Biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức này đúng.
Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.

Dãy số này giảm mà bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn, giả sử giới hạn đó là $k \ge 0 $.
Trong công thức đã cho, cho n tiến tới vô cực, ta được $a = \frac{1}{3}(a+2) $, suy ra $a=1 $.
Vậy giới hạn cần tìm là 1.
Phải chứng minh quy nạp $ x_n \ge \frac{n+2}{n-1} $ sau đó cm nó là dãy giảm mới đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
mathstarofvn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to mathstarofvn For This Useful Post:
tranvuxuannhat (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 12:01 PM   #5
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,408
Thanks: 2,164
Thanked 4,162 Times in 1,377 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi mathstarofvn View Post
Phải chứng minh quy nạp $ x_n \ge \frac{n+2}{n-1} $ sau đó cm nó là dãy giảm mới đúng.
Phải là $x_{n-1} $ chứ bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:05 PM   #6
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
$x_{n} $ mới đúng anh lữ ạ ^^!. Vì cho $n=2 $ thấy có lỗi ngay anh ạ ^^!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:05 PM   #7
nhox12764
+Thành Viên+
 
nhox12764's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: 12 Toán - Bến Tre
Bài gởi: 221
Thanks: 798
Thanked 128 Times in 64 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Trong công thức đã cho, cho n tiến tới vô cực, ta được $a = \frac{1}{3}(a+2) $, suy ra $a=1 $.
Vậy giới hạn cần tìm là 1.
Bài này em làm tới khúc tính giới hạn, thấy có n nên nghĩ là đưa sang giới hạn sẽ bị sai... Mất điểm rồi ...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nhox12764 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:09 PM   #8
truongvoki_bn
+Thành Viên Danh Dự+
 
truongvoki_bn's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: _chuyenbacninh_
Bài gởi: 614
Thanks: 72
Thanked 539 Times in 208 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài 1[/TEX] (5 điểm).
Cho dãy số thực $(x_n) $ xác định bởi :
$\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}
$
với mọi $n\geq 2 $.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to\+\infty $ và Tính giới hạn đó.
Chứng minh quy nạp $x_n>1+\frac{1}{n+3}>1 $
và dãy {$x_n $} giảm với $n\ge 2 $ là xong. Từ đó cho n tiến tới vô cực ta được giới hạn bằng 1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống là không chờ đợi


Đại học thôi. Lăn tăn gì nữa

thay đổi nội dung bởi: truongvoki_bn, 11-01-2012 lúc 12:12 PM
truongvoki_bn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:20 PM   #9
Hoanglong2011
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2011
Bài gởi: 7
Thanks: 3
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi mathstarofvn View Post
Phải chứng minh quy nạp $ x_n \ge \frac{n+2}{n-1} $ sau đó cm nó là dãy giảm mới đúng.
Thực ra chỉ cần CM $x_n>1 $ là đủ để CM dãy giảm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hoanglong2011 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:49 PM   #10
khoile101
Banned
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: THPT Chuyen Ha tinh
Bài gởi: 75
Thanks: 58
Thanked 27 Times in 19 Posts
Bài này mình dùng nguyên lí kẹp
$\frac{n+3}{n}\le (x_n) \le \frac{n+2}{n-2} $ với n>5
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khoile101 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 01:01 PM   #11
pco
+Thành Viên+
 
pco's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 528
Thanks: 560
Thanked 195 Times in 124 Posts
Mọi người có thể viết ra lời giải cho đầy đủ được không ? Cảm ơn nhiều.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
"People's dreams... will never end!" - Marshall D. Teach.
pco is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 01:06 PM   #12
sang89
+Thành Viên Danh Dự+
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 887
Thanks: 261
Thanked 462 Times in 331 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife View Post
$x_{n} $ mới đúng anh lữ ạ ^^!. Vì cho $n=2 $ thấy có lỗi ngay anh ạ ^^!
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Phải là $x_{n-1} $ chứ bạn.
Cho $n \ge 3 $ thì bài của anh Lữ đúng rồi .

Trích:
Nguyên văn bởi pco View Post
Mọi người có thể viết ra lời giải cho đầy đủ được không ? Cảm ơn nhiều.
Xem lời giải ở #2.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
sang89 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 01:15 PM   #13
anhdunghmd
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Kiên Giang
Bài gởi: 6
Thanks: 42
Thanked 4 Times in 3 Posts
Cách khác

Không biết gõ Latex, các bác thông cảm dùm.
Bài này dữ kiện $x_1 = 3 $ không cần dùng thì phải.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : doc Bài 1.doc (72.5 KB, 166 lần tải)

thay đổi nội dung bởi: sang89, 11-01-2012 lúc 01:18 PM
anhdunghmd is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to anhdunghmd For This Useful Post:
ngocson_dhsp (12-01-2012)
Old 11-01-2012, 01:51 PM   #14
Brandnewworld
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 25
Thanks: 10
Thanked 8 Times in 4 Posts
Mình CM dãy giảm bằng quy nạp, và dãy bị chặn dưới bởi 0
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Brandnewworld is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 02:35 PM   #15
secret_secret
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 9
Thanks: 12
Thanked 1 Time in 1 Post
Xin hỏi bài này có thể tìm được CTTQ của dãy Xn không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
secret_secret is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:52 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 98.50 k/114.98 k (14.33%)]