Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-01-2012, 11:40 AM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
[VMO 2012] Bài 2 - Đa thức

Bài 2 (5 điểm).
Cho các cấp số cộng $(a_n), \ (b_n) $ và số nguyên $m>2 $. Xét $m $ tam thức bậc hai : $P_k(x) = x^2 + a_k x + b_k ,\ k=1,2,3,....,m $ .
Chứng minh rằng nếu hai tam thức $P_1(x),\ P_m(x) $ đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
Dungmathscope (11-01-2012), ngocson_dhsp (11-01-2012), nhox12764 (11-01-2012), trang96 (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 12:05 PM   #2
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Chú ý $ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2<4y\} $ là tập lồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:08 PM   #3
nhox12764
+Thành Viên+
 
nhox12764's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: 12 Toán - Bến Tre
Bài gởi: 221
Thanks: 798
Thanked 128 Times in 64 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.t.tuan View Post
Chú ý $ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2<4y\} $ là tập lồi.
Tập lồi là tập gì thế ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nhox12764 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:09 PM   #4
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:28 PM   #5
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 567
Thanks: 24
Thanked 536 Times in 262 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài 2 (5 điểm).
Cho các cấp số cộng $(a_n), \ (b_n) $ và số nguyên $m>2 $. Xét $m $ tam thức bậc hai : $P_k(x) = x^2 + a_k x + b_k ,\ k=1,2,3,....,m $ .
Chứng minh rằng nếu hai tam thức $P_1(x),\ P_m(x) $ đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.
Theo giả thiết ta có: $a_1^2-4b_1<0; a_m^2-4b_m<0 $
Do $(a_n), (b_n) $ là cấp số cộng nên với $1\le k\le m $ ta có đẳng thức sau:
$\begin{array}{l}
{a_k} = \frac{{\left( {k - 1} \right){a_m} + \left( {m - k} \right){a_1}}}{{m - 1}};{b_k} = \frac{{\left( {k - 1} \right){b_m} + \left( {m - k} \right){b_1}}}{{m - 1}}\\
\Rightarrow a_k^2 - 4{b_k} = \frac{{\left( {k - 1} \right)\left( {m - k} \right)\left( {a_m^2 - 4{b_m}} \right) + \left( {k - 1} \right)\left( {m - k} \right)\left( {a_1^2 - 4{b_1}} \right) - \left( {k - 1} \right)\left( {m - k} \right){{\left( {{a_m} - {a_1}} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} < 0
\end{array} $ suy đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 11-01-2012 lúc 01:27 PM
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to ThangToan For This Useful Post:
huynhcongbang (11-01-2012), khaidongthai96 (15-01-2012), mnnn (11-01-2012), ngocson_dhsp (11-01-2012), nhox12764 (11-01-2012), tangchauphong (11-01-2012), trang96 (12-01-2012)
Old 11-01-2012, 12:29 PM   #6
shido_soichua
Maths is my life
 
shido_soichua's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Ninh Bình
Bài gởi: 300
Thanks: 31
Thanked 132 Times in 76 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới shido_soichua
Có lẽ là thế này. Do $P_1(x),P_m(x) $ không có nghiệm thực nên $a_1^2-4b_1 < 0 $ và $a_m^2-4b_m < 0 $
Từ đó có: $[{a_1+(m-1)c}]^2-4[b_1+(m-1)d]<0 $
Suy ra $2c+c^2-4d< \frac{4b_1-a_1^2}{m-1} $
Nên $a_2^2-4b_2<0 $ đo đó $P_2(x) $ không có nghiệm thực.
Tương tự cho các P còn lại
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://luongvantuy.org/forum.php
Chuyên Văn - Lương Văn Tụy
shido_soichua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:33 PM   #7
khoile101
Banned
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: THPT Chuyen Ha tinh
Bài gởi: 75
Thanks: 58
Thanked 27 Times in 19 Posts
Câu này mình sử dụng phản chứng, theo giả thiết P1 va Pm > 0 với mọi x, giả sử tồn tại Pk(x) = 0 có nghiệm, gọi ngiệm đó là a, bang tính chat csc ta chứng minh mâu thuẫn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khoile101 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:53 PM   #8
HuongNhat
+Thành Viên+
 
HuongNhat's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Bài gởi: 77
Thanks: 49
Thanked 20 Times in 16 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới HuongNhat
Trích:
Nguyên văn bởi khoile101 View Post
Câu này mình sử dụng phản chứng, theo giả thiết P1 va Pm > 0 với mọi x, giả sử tồn tại Pk(x) = 0 có nghiệm, gọi ngiệm đó là a, bang tính chat csc ta chứng minh mâu thuẫn
Cùng ý tưởng đây
Xét $ m\ge 3 $. Giả sử tồn tại $i, 2\le i\ge m-1 $ sao cho $P_i(x) $ có nghiệm $x_0 $
Có $P_m(x)-P_{m-1}x\equiv ...\equiv P_{i+1}x-P_i(x)\equiv P_i(x)-P_{i-1}x\equiv ...\equiv P_2{x}-P_1{x}\equiv d_1x+d_2 $
Cho $x=x_0 $ ta có $P_{i+1}x_0=P_{i-1}x_0=d_1x_0+d_2 $
Mà $P_{i+1}x_0-P_{i-1}x_0=2d_1x_0+2d_2=0 $ suy ra $x_0 $ là nghiệm của mọi $P_k(x) $ vô lí
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Làm người có thể xa xỉ nhưng không nên lãng phí !
HuongNhat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to HuongNhat For This Useful Post:
A Good Man (11-01-2012), windrock (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 01:00 PM   #9
hizact
+Thành Viên+
 
hizact's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Đến từ: Sài Gòn
Bài gởi: 535
Thanks: 287
Thanked 325 Times in 193 Posts
Dùng hàm lồi. Đặt $f\left( k \right) = {\Delta _{{P_k}\left( x \right)}} $ thì f lồi nên $f\left( k \right) \le \max \left\{ {f\left( 1 \right),f\left( m \right)} \right\} < 0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hizact is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 01:07 PM   #10
TKT
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 6
Thanks: 34
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ThangToan View Post
Theo giả thiết ta có: $a_1^2-4b_1<0; a_m^2-4b_m<0 $
Do $(a_n), (b_n) $ là cấp số cộng nên với $1\le k\le m $ ta có đẳng thức sau:
$\begin{array}{l}
{a_k} = \frac{{\left( {k - 1} \right){a_1} + \left( {m - k} \right){a_m}}}{{m - 1}};{b_k} = \frac{{\left( {k - 1} \right){b_1} + \left( {m - k} \right){b_m}}}{{m - 1}}\\
\Rightarrow a_k^2 - 4{b_k} = \frac{{\left( {k - 1} \right)\left( {m - k} \right)\left( {a_m^2 - 4{b_m}} \right) + \left( {k - 1} \right)\left( {m - k} \right)\left( {a_1^2 - 4{b_1}} \right) - \left( {k - 1} \right)\left( {m - k} \right){{\left( {{a_m} - {a_1}} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} < 0
\end{array} $ suy đpcm
Cách này hình như nhầm rồi bạn, chỗ tính ak theo $a_m $ và $a_1 $ trên tử vẫn còn dư đại lượng $-m^2 + 2mk - 2k + 1 $ mà

P.S: mình là thành viên mới, chưa kịp tìm hiểu cách gõ latex, mọi người thông cảm!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 11-01-2012 lúc 01:11 PM
TKT is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 01:11 PM   #11
Mashimaru
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2008
Bài gởi: 89
Thanks: 19
Thanked 70 Times in 28 Posts
Theo giả thiết ta có $P_1(x) > 0 $ và $P_{m} (x) > 0 $, với mọi $x \in \mathbb{R} $. Giả sử ngược lại, tồn tại $k $ trong $\{2, 3, ..., m - 2\} $ thoả mãn $P_{k} (x_{0}) = 0 $. Chú ý rằng $P_{i + 1} (x) - P_{i} (x) = dx + e $, với $d, e $ tương ứng là công sai của $\{a_{n}\} $ và $\{b_{n}\} $, ta phải có $dx_0 + e > 0 $, từ đó dẫn đến $P_1(x_0) < 0 $, suy ra $P_1(x) $ có nghiệm thực. Mâu thuẫn này kết thúc chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mashimaru is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 01:20 PM   #12
thanhorg
+Thành Viên+
 
thanhorg's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Đến từ: T1K20- Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 213
Thanks: 155
Thanked 145 Times in 89 Posts
Bài này mình làm như sau.mong các bạn xem có đúng không.:
Ta có $a_k = a_1+(k-1)p $
$b_k=b_1+(k-1)q $
Gỉa sử tồn tại k sao cho $P_k{x} $ có nghiệm .
suy ra $a_k^{2}- 4b_k >0 $
hay $(k-1)[ (k-1)p^2 + 2pa_1 - 4q] \ge 4b_1-a_1^{2} > 0 $.
Suy ra $ (k-1)p^2 + 2pa_1 - 4q > 0 $
Mà $ m-1 > k-1 $ Nên $(m-1)[ (m-1)p^2 + 2pa_1 - 4q] >(k-1)[ (k-1)p^2 + 2pa_1 - 4q] > 4b_1-a_1^{2} $
Suy ra $ a_m^{2}- 4b_m > 0 $ Vô lí do giả thiết
Vậy ta có ĐPCM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
thanhorg is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 01:22 PM   #13
truongvoki_bn
+Thành Viên Danh Dự+
 
truongvoki_bn's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: _chuyenbacninh_
Bài gởi: 614
Thanks: 72
Thanked 539 Times in 208 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài 2 (5 điểm).
Cho các cấp số cộng $(a_n), \ (b_n) $ và số nguyên $m>2 $. Xét $m $ tam thức bậc hai : $P_k(x) = x^2 + a_k x + b_k ,\ k=1,2,3,....,m $ .
Chứng minh rằng nếu hai tam thức $P_1(x),\ P_m(x) $ đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.
Chú ý đẳng thức sau:
$a_k=\frac{a_m(k-1)+a_1(m-k)}{m-1} $


và $b_k=\frac{b_m(k-1)+b_1(m-k)}{m-1} $

Từ đó ta sẽ chứng minh:$a_k^2<4b_k $ với mọi k

Thật vậy: ta có:

$4b_k-a_k^2=4\frac{b_m(k-1)+b_1(m-k)}{m-1}-\frac{[(a_m(k-
1)+a_1(m-k)]^2}{(m-1)^2} $

$=\frac{4(m-1)[b_m(k-1)+b_1(m-k)]-[a_m(k-1)+a_1(m-k)]^2}{(m-1)^2}>\frac{(k-1)(m-k)(a_
m-a_1)^2}{(m-1)^2}\ge 0 $

(Do $4(m-1)(k-1).b_m-a_m^2(k-1)^2>(k-1)a_m^2[(m-1)-(k-1)]=(k-1)(m-k)a_m^2 $

và $4(m-1)(m-k).b_1-a_1^2(m-k)^2>(m-k)a_1^2[(m-1)-(m-k)]=(k-1)(m-k)a_1^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống là không chờ đợi


Đại học thôi. Lăn tăn gì nữa

thay đổi nội dung bởi: truongvoki_bn, 11-01-2012 lúc 01:30 PM
truongvoki_bn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 01:27 PM   #14
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 567
Thanks: 24
Thanked 536 Times in 262 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi TKT View Post
Cách này hình như nhầm rồi bạn, chỗ tính ak theo $a_m $ và $a_1 $ trên tử vẫn còn dư đại lượng $-m^2 + 2mk - 2k + 1 $ mà

P.S: mình là thành viên mới, chưa kịp tìm hiểu cách gõ latex, mọi người thông cảm!
MÌnh đã sửa lại rồi: ${a_k} = \frac{{\left( {k - 1} \right){a_m} + \left( {m - k} \right){a_1}}}{{m - 1}};{b_k} = \frac{{\left( {k - 1} \right){b_m} + \left( {m - k} \right){b_1}}}{{m - 1}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 01:46 PM   #15
kirin
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Đến từ: http://m.facebook.com/story.php?story_fbid=488454984546725&id=165605226827592&refid=17&ref=stream
Bài gởi: 13
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bài này ý tưởng khá cơ bản và tự nhiên là cm đenta nhỏ hơn 0, có ai làm theo hướng đó ko?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kirin is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 09:05 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 97.78 k/113.84 k (14.11%)]