Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-01-2012, 11:46 AM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
[VMO 2012] Bài 3 - Hình học

Bài 3 (5 điểm) .
Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi $ABCD $ nội tiếp đường tròn tâm $O $ và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi $M,N $ tương ứng là giao điểm của các đường thẳng $AB $ và $CD $, $AD $ và $BC $. Gọi $P, Q, S, T $ tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp $\angle MAN $ và $\angle MBN $, $\angle MBN $ và $\angle MCN $, $\angle MCN $ và$ \angle MDN $, $\angle MDN $ và $\angle MAN $. Giả sử bốn điểm $P, Q, S, T $ đôi một phân biệt.

1) Chứng minh rằng bốn điểm $P, Q, S, T $ cùng nằm trên một đường tròn. Gọi $I $ là tâm của đường tròn đó.

2) Gọi $E $ là giao điểm của các đường chéo $ AC $ và $BD $. Chứng minh rằng ba điểm $E, O, I $ thẳng hàng.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 13-01-2012 lúc 07:04 PM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
hoduckhanhgx (11-01-2012), nhox12764 (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 12:34 PM   #2
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Bài này thuần tính góc =.=.
1. Ta có $\angle STP=\angle ATD=180^o-\angle TAD-\angle TDA , \left | \right |\angle SQP=\angle BQC=180^o-\angle QBC-\angle QCB
$Dễ dàng thấy suy ra $\angle STP=\angle SQP $ nên $P,Q,S,T $ đồng viên

2. Kết quả quen thuộc là EO vuông góc với MN (Định lý Brokard). Ta đi cm MN vuông góc với OI.
Thấy rằng (P,S,N), (Q,T,M) thẳng hàng và Tứ giác QTAB,PSBC nội tiếp
Suy ra $MT.MQ=MA.MB $ nên M thuộc trục đẳng phương của (O) và (I). N cũng vậy, do đó MN vuông góc với OI.
Hình vẽ,

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 11-01-2012 lúc 12:47 PM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
alibaba_cqt (11-01-2012), hoduckhanhgx (11-01-2012), huynhcongbang (11-01-2012), nhox12764 (11-01-2012), tangchauphong (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 12:35 PM   #3
thephuong
Moderator
 
thephuong's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2011
Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai
Bài gởi: 862
Thanks: 206
Thanked 503 Times in 295 Posts
Bài hình năm nay tương đối đơn giản (đối với người ngồi ở nhà như mình ) hy vọng các anh chị đi thi làm tốt.
câu a)
Không mất tính tổng quát giả sử $M $ và $N $ nằm cùng phía với A đối với đường thẳng BD.
Sử dụng biến đồi góc ta có:
$\widehat{QST} = \frac{1}{2}(\widehat{ADM} - \widehat{BCD}) = \frac{1}{2}\widehat{CND} $
Chứng minh tương tự ta cũng có: $\widehat{QPT} = \frac{1}{2}\widehat{CND} $
Từ đó suy ra 4 điểm$ Q, S, P, T $nằm trên một đường tròn.
b)
Biến đổi góc tương tự câu a ta nhận được các kết quả sau:
$\widehat{STR} = \frac{1}{2}\widehat{AMD},\widehat{STQ} = \frac{1}{2}\widehat{DAM} $
Suy ra $\widehat{BQT} = \frac{1}{2}(\widehat{DAM} + \widehat{AMD} + \widehat{DNA}) = \frac{1}{2}\widehat{BAD} $
Từ đó suy ra được$ \widehat{BQT} + \widehat{BAT} = 180^0 $
hay $Q, T, A, B $ nằm trên một đường tròn.
ta lại có: $\widehat{BQM} = \frac{1}{2}(\widehat{ABC} + \widehat{AMC}) = \frac{1}{2}\widehat{BAD} $
Nên $\widehat{BQT} = \widehat{BQM} $ hay$ Q, T, M $ thẳng hàng
do đó $\overline{MT}.\overline{MQ} = \overline{MA}.\overline{MB} $
suy ra M có cùng phương tích với hai đường tròn $(O) $và $(I) $
Tương tự thì $M $ cùng có cùng phương tích với $(O) $ và $(I) $
Suy ra $MN \perp OI $
Mặt khác theo định lí Procard (cái này chúng minh đơn giản bằng phương tích) thì $OE \perp MN $
Từ đó suy ra dpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
You've set my heart soaring
Ma đáng yêu

thay đổi nội dung bởi: thephuong, 11-01-2012 lúc 12:38 PM
thephuong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to thephuong For This Useful Post:
alibaba_cqt (11-01-2012), huynhcongbang (11-01-2012), nhox12764 (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 12:37 PM   #4
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,155
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Vừa vẽ xong cái hình mà mấy bạn này đã giải hết cả rồi. Thôi up lên cho mọi người xem vậy.
Bài hình năm nay cũng tương đối dễ. Chắc hầu hết làm được câu a.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg Capture.JPG (37.2 KB, 1412 lần tải)
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 11-01-2012 lúc 12:47 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
nhox12764 (11-01-2012), secret_secret (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 12:44 PM   #5
shido_soichua
Maths is my life
 
shido_soichua's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Ninh Bình
Bài gởi: 300
Thanks: 31
Thanked 132 Times in 76 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới shido_soichua
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Vừa vẽ xong cái hình mà mấy bạn này đã giải hết cả rồi. Thôi up lên cho mọi người xem vậy.
Bài hình năm nay cũng tương đối dễ. Chắc hầu hết làm được câu a.

Ơ em chưa kịp vẽ hình . Xong 3 câu còn 5 phút ặc ặc. Cái topic chém gió ở chỗ nào ấy nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://luongvantuy.org/forum.php
Chuyên Văn - Lương Văn Tụy
shido_soichua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 12:59 PM   #6
alibaba_cqt
+Thành Viên+
 
alibaba_cqt's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 255
Thanks: 42
Thanked 445 Times in 186 Posts
Câu a) Có thể quy về hết về các góc của tứ giác $ABCD $ như sau:
+) Xét tam giác $PAB $ ta có: $\angle{APB} = 180^0-\angle{PAB}-\angle{PBA}=180^0-\frac{\angle{C}}{2}-\angle{D}-\frac{\angle{B}}{2}=90^0-\frac{\angle{C}}{2}-\frac{\angle{D}}{2} $

+) Xét tam giác $SCD $ ta có $\angle{CSD} = 180^0-\angle{SDC}-\angle{SCD}=180^0-\frac{\angle{D}}{2}-\angle{C}-\frac{\angle{A}}{2}=90^0-\frac{\angle{C}}{2}-\frac{\angle{D}}{2} $

Từ hai ý trên ta có: $\angle{APB}=\angle{CSD} $ hay $PSTQ $ là tứ giác nội tiếp.

Câu b) Chỗ chứng minh $OI\perp MN $ giống n.v.thanh ở trên nhưng chỗ $OE\perp MN $ thay bằng dùng cực và đối cực cho nhanh từ đó suy ra O, I, E thẳng hàng.



[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$-1=(-1)^3=(-1)^{\frac{6}{2}}=(-1)^{6.\frac{1}{2}}=\left [(-1)^6 \right ]^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1 $

http://www.youtube.com/watch?v=HVeQAuI3BQQ

thay đổi nội dung bởi: alibaba_cqt, 11-01-2012 lúc 02:26 PM
alibaba_cqt is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 01:39 PM   #7
dung247
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: THPT Chuyên Chu Văn AN-Lạng Sơn
Bài gởi: 6
Thanks: 0
Thanked 2 Times in 2 Posts
VMO bài 3 (2012)

Điểm nhấn của bài toán thực ra là ở việc dự đoán được OE vuông góc với MN. Sau đó phải biết sử dụng tính chất của đường tròn bàng tiếp để chứng minh các điểm thẳng hàng.
Sau đây mình xin gửi các bạn File PDF của bài giải.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf VMO bai 3 _2012_.pdf (47.8 KB, 211 lần tải)

thay đổi nội dung bởi: dung247, 11-01-2012 lúc 02:34 PM
dung247 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to dung247 For This Useful Post:
ngocson_dhsp (12-01-2012)
Old 11-01-2012, 04:11 PM   #8
tuanben1995
Banned
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Bài gởi: 34
Thanks: 44
Thanked 5 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi alibaba_cqt View Post
Câu a) Có thể quy về hết về các góc của tứ giác $ABCD $ như sau:
+) Xét tam giác $PAB $ ta có: $\angle{APB} = 180^0-\angle{PAB}-\angle{PBA}=180^0-\frac{\angle{C}}{2}-\angle{D}-\frac{\angle{B}}{2}=90^0-\frac{\angle{C}}{2}-\frac{\angle{D}}{2} $

+) Xét tam giác $SCD $ ta có $\angle{CSD} = 180^0-\angle{SDC}-\angle{SCD}=180^0-\frac{\angle{D}}{2}-\angle{C}-\frac{\angle{A}}{2}=90^0-\frac{\angle{C}}{2}-\frac{\angle{D}}{2} $

Từ hai ý trên ta có: $\angle{APB}=\angle{CSD} $ hay $PSTQ $ là tứ giác nội tiếp.

Câu b) Chỗ chứng minh $OI\perp MN $ giống n.v.thanh ở trên nhưng chỗ $OE\perp MN $ thay bằng dùng cực và đối cực cho nhanh từ đó suy ra O, I, E thẳng hàng.


cực và đối cực ko đc dùng anh ơi,đl bocard cũng phải chứng minh lại,ko sử dụng ngay.chết là chết ở những chỗ đó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tuanben1995 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 04:13 PM   #9
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Chứng minh Brocard dễ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 04:16 PM   #10
tuanben1995
Banned
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Bài gởi: 34
Thanks: 44
Thanked 5 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Chứng minh Brocard dễ
nhưng quen dùng cực và đối cực rồi nên ko phải ai cũng nhớ anh ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tuanben1995 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 04:19 PM   #11
conami
+Thành Viên+
 
conami's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Đến từ: Thanh Hoá
Bài gởi: 295
Thanks: 266
Thanked 145 Times in 96 Posts
Định lí Brocard có cách chứng minh chỉ bằng kiến thức THCS cũng khá ngắn gọn
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
L.T.L
conami is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 04:26 PM   #12
thephuong
Moderator
 
thephuong's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2011
Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai
Bài gởi: 862
Thanks: 206
Thanked 503 Times in 295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi tuanben1995 View Post
nhưng quen dùng cực và đối cực rồi nên ko phải ai cũng nhớ anh ạ
Dựa vào cài kết quả này thôi (cái này các bạn tự chứng minh, nó thuộc dạng sơ cấp)
$A, B, C, D $thuộc một đường tròn $(O) $. $AB $ cắt $CD $ tại $E, AD $ cắt $BC $tại $F $ thì $EF^2 = P_{E/(O)} + P_{F/(O)} $
Kết hợp thêm cái này nữa là chứng minh được:
$A, B, C, D $ là bốn điểm trên mặt phẳng thì:
$AB \perp CD \Leftrightarrow AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
You've set my heart soaring
Ma đáng yêu
thephuong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to thephuong For This Useful Post:
ngocson_dhsp (11-01-2012), tangchauphong (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 07:24 PM   #13
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
Bài hình này trên tạp chí CRUX MATH, thảo nào lúc đầu đọc MS cứ thấy quen quen
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to Mr Stoke For This Useful Post:
hoduckhanhgx (11-01-2012), n.v.thanh (12-01-2012), ngocson_dhsp (11-01-2012)
Old 12-01-2012, 07:40 AM   #14
alibaba_cqt
+Thành Viên+
 
alibaba_cqt's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 255
Thanks: 42
Thanked 445 Times in 186 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi AnhIsGod View Post
Bạn có thể cho mình file CRUX đó được không
Có ai có tài liệu về cực và đối cực không? Từ tính chất cơ bản đến nâng cao.
Trên diễn đàn mình đã có một topic về cực và đối cực rồi, còn rất nhiều bài giải của các thành viên sử dụng cực và đối cực.

Trong kì thi HSG Quốc gia mà không cho dùng cực và đối cực thì thật buồn, cực đối cực và hàng điểm điều hoà kết hợp với nhau luôn tạo ra nhiều điều thú vị. Trong khi hàng điểm điều hòa được dùng còn cực và đối cực thì không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : doc Cuc va doi cuc.DOC (201.0 KB, 72 lần tải)
Kiểu File : pdf Mot so bai toan dung cuc va doi cuc.pdf (96.6 KB, 160 lần tải)
__________________
$-1=(-1)^3=(-1)^{\frac{6}{2}}=(-1)^{6.\frac{1}{2}}=\left [(-1)^6 \right ]^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1 $

http://www.youtube.com/watch?v=HVeQAuI3BQQ
alibaba_cqt is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to alibaba_cqt For This Useful Post:
ngocthi0101 (12-01-2012)
Old 12-01-2012, 07:50 AM   #15
prohuynh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 50
Thanks: 44
Thanked 103 Times in 34 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi alibaba_cqt View Post
Trên diễn đàn mình đã có một topic về cực và đối cực rồi, còn rất nhiều bài giải của các thành viên sử dụng cực và đối cực.

Trong kì thi HSG Quốc gia mà không cho dùng cực và đối cực thì thật buồn, cực đối cực và hàng điểm điều hoà kết hợp với nhau luôn tạo ra nhiều điều thú vị. Trong khi hàng điểm điều hòa được dùng còn cực và đối cực thì không?
VMO thì không nhưng khi đi thi TST, IMO thì sẽ được dùng cực và đối cực thoải mái đó bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
prohuynh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:29 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 110.48 k/127.67 k (13.46%)]