Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-01-2012, 11:36 AM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
[VMO 2012] Bài 7 - Phương Trình Hàm

Bài 7(6 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f $ xác định trên tập số thực $\mathbb R $, lấy giá trị trong $\mathbb R $ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1/ $f $ là toàn ánh từ $\mathbb R $ đến $\mathbb R $;
2/ $f $ là hàm số tăng trên $\mathbb R $;
3/ $f(f(x))=f(x)+12x $ với mọi số thực $x $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 12-01-2012 lúc 11:39 AM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
nhox12764 (12-01-2012)
Old 12-01-2012, 11:56 AM   #2
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Nghiệm duy nhất của phương trình hàm này là $f(x)=4x $.
f là hàm tăng nên f đơn ánh. Cho $x=0 $ta có $f(f(0))=f(0) $ nên $f(0)=0 $.
Do đó nếu $x>0 $ thì $f(x)>f(0)=0 $. Bài toán quy về giải pt truy hồi . Ý tưởng là thế, nếu ý tưởng đúng thì mình post tiếp .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
shido_soichua (12-01-2012)
Old 12-01-2012, 11:58 AM   #3
shido_soichua
Maths is my life
 
shido_soichua's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Ninh Bình
Bài gởi: 300
Thanks: 31
Thanked 132 Times in 76 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới shido_soichua
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Nghiệm duy nhất của phương trình hàm này là $f(x)=4x $.
f là hàm tăng nên f đơn ánh. Do đó f toàn ánh. Cho x=0 ta có f(f(0))=f(0) nên f(0)=0.
Do đó nếu x>0 thì f(x)>f(0)=0. Bài toán quy về giải pt truy hồi . Ý tưởng là thế.
Uh tớ cũng làm thế. Có chỗ cuối xử lá cái hàm $c_1(x) $ với $c_2(x) $ sao cho đẹp thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://luongvantuy.org/forum.php
Chuyên Văn - Lương Văn Tụy
shido_soichua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 12:10 PM   #4
tranvuxuannhat
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: thpt trần quốc tuấn quảng ngãi
Bài gởi: 28
Thanks: 45
Thanked 10 Times in 7 Posts
Các bác chưa cm được đó là hàm liên tục thi làm sao dùng dãy số với truy hồi được?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tranvuxuannhat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 12:16 PM   #5
hahaha712
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 14
Thanks: 6
Thanked 1 Time in 1 Post
Ý tớ thế này
dãy truy hồi Un=Un-1+12Un-2
tìm được 2 nghiệm rồi tìm được công thức tổng quát.
sau đó thay Uo=x, U1=f(x) cho ta f(x)+3x=5l hoặc f(x)-4x=7k, thay lại vào pt ban đầu loại TH f(x)+3x=5l do hàm đồng biến.
Tớ dùng di động, không có máy tính không đánh đc latex các bạn thông cảm nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hahaha712 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 12:18 PM   #6
shido_soichua
Maths is my life
 
shido_soichua's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Ninh Bình
Bài gởi: 300
Thanks: 31
Thanked 132 Times in 76 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới shido_soichua
Trích:
Nguyên văn bởi tranvuxuannhat View Post
Các bác chưa cm được đó là hàm liên tục thi làm sao dùng dãy số với truy hồi được?
Đâu cần hàm liên lục đâu bạn f song ánh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://luongvantuy.org/forum.php
Chuyên Văn - Lương Văn Tụy
shido_soichua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to shido_soichua For This Useful Post:
khoile101 (04-07-2012)
Old 12-01-2012, 12:35 PM   #7
Thanh vien
+Thành Viên+
 
Thanh vien's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 120
Thanks: 68
Thanked 70 Times in 40 Posts
Phải song ánh thì mới dùng được truy hồi như trên à?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
When the rain is blowing in your face...
Thanh vien is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 12:35 PM   #8
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Bài này có 2 nghiệm, $f(x)=-3x $ hoặc $f(x)=4x $, nhỷ ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 12:39 PM   #9
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,397
Thanks: 2,158
Thanked 4,147 Times in 1,367 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài này có 2 nghiệm, $f(x)=-3x $ hoặc $f(x)=4x $, nhỷ ?
Cái này là hàm tăng thì sao mà $f(x)=-3x $ được em.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
n.v.thanh (12-01-2012)
Old 12-01-2012, 12:40 PM   #10
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,397
Thanks: 2,158
Thanked 4,147 Times in 1,367 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi thuythuy View Post
Mình dùng deg để giải ra luôn dang y= ax + b
Đây đâu phải là PTH đa thức đâu mà có deg nữa bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 12:52 PM   #11
Thanh vien
+Thành Viên+
 
Thanh vien's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 120
Thanks: 68
Thanked 70 Times in 40 Posts
Ai đó giải chi tiết được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
When the rain is blowing in your face...
Thanh vien is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 01:18 PM   #12
truongvoki_bn
+Thành Viên Danh Dự+
 
truongvoki_bn's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: _chuyenbacninh_
Bài gởi: 614
Thanks: 72
Thanked 539 Times in 208 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài 7(6 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f $ xác định trên tập số thực $\mathbb R $, lấy giá trị trong $\mathbb R $ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1/ $f $ là toàn ánh từ $\mathbb R $ đến $\mathbb R $;
2/ $f $ là hàm số tăng trên $\mathbb R $;
3/ $f(f(x))=f(x)+12x $ với mọi số thực $x $.
Làm thế này đúng không nhể??
Sử dụng (1) và (2) dễ chứng minh được $f(0)=0 $

Đặt $U_n=f_n(x) $



Khi đó ta có:$U_1=f(x);U_0=x $

Ta có được:$U_{n+2}=U_{n+1}+12U_n $

Xét phương trình đặc trưng:$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm

$t_1=-3; t_2=4 \Rightarrow U_n=(-3)^n.A+4^n.B $

Kết hợp:$U_1=f(x);U_0=x $ ta có được

$f(x)=4x-7A $ hoặc $f(x)=7B-3x $

Mà $f(0)=0 $ $\Rightarrow f(x)=4x $ hoặc $f(x)=-3x $
Vì $f(x) $ là hàm tăng nên $f(x)=4x $


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống là không chờ đợi


Đại học thôi. Lăn tăn gì nữa

thay đổi nội dung bởi: truongvoki_bn, 12-01-2012 lúc 01:23 PM
truongvoki_bn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 01:20 PM   #13
shido_soichua
Maths is my life
 
shido_soichua's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Ninh Bình
Bài gởi: 300
Thanks: 31
Thanked 132 Times in 76 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới shido_soichua
Trích:
Nguyên văn bởi truongvoki_bn View Post
Làm thế này đúng khôn nhể??
Sử dụng (1) và (2) dễ chứng minh được $f(0)=0 $

Đặt $U_n=f_n(x) $

Khi đó ta có:$U_1=f(x);U_0=x $

Ta có được:$U_{n+2}=U_{n+1}+12U_n $

Xét phương trình đặc trưng:$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm $t_1=-3;
t_2=4 \Rightarrow U_n=(-3)^n.A+4^n.B $

Kết hợp:$U_1=f(x);U_0=x $ ta có được

$f(x)=4x-7A $ hoặc $f(x)=7B-3x $

Mà $f(0)=0 $ $\Rightarrow f(x)=4x $ hoặc $f(x)=-3x $
Vì $f(x) $ là hàm tăng nên $f(x)=4x $

Không được đâu bạn ạ. $A $ và $B $ không phải là hai số mà là hai hàm theo biến $x $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://luongvantuy.org/forum.php
Chuyên Văn - Lương Văn Tụy
shido_soichua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 01:21 PM   #14
Thien tai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: vô gia cư
Bài gởi: 157
Thanks: 28
Thanked 55 Times in 36 Posts
A, B đâu cố định làm cách trên bỏ hẳn đi điều kiện toàn ánh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
No spam!
Thien tai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 01:26 PM   #15
TKT
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 6
Thanks: 34
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi truongvoki_bn View Post
Làm thế này đúng không nhể??
Sử dụng (1) và (2) dễ chứng minh được $f(0)=0 $

Đặt $U_n=f_n(x) $

Khi đó ta có:$U_1=f(x);U_0=x $

Ta có được:$U_{n+2}=U_{n+1}+12U_n $

Xét phương trình đặc trưng:$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm $t_1=-3;
t_2=4 \Rightarrow U_n=(-3)^n.A+4^n.B $

Kết hợp:$U_1=f(x);U_0=x $ ta có được

$f(x)=4x-7A $ hoặc $f(x)=7B-3x $

Mà $f(0)=0 $ $\Rightarrow f(x)=4x $ hoặc $f(x)=-3x $
Vì $f(x) $ là hàm tăng nên $f(x)=4x $

Không đúng đâu bạn, vì từ $ f(x)=4x $ hoặc $f(x)=-3x $ chỉ suy ra với mỗi x cụ thể thì f(x) nhận 1 trong 2 giá trị đó thôi, chưa suy ra hàm được. Nếu làm theo hướng này thì phải xét trường hợp tồn tại hàm f sao cho tồn tại a và b mà $ f(a)=4a $ và $f(b)=-3b $, từ đó dẫn đến mâu thuẫn mới kết luận hàm được; nhưng chứng minh được cái đó cũng hơi bị khó đấy. Với lại bạn còn chưa sử dụng giả thiết hàm toàn ánh nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
TKT is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:24 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 99.95 k/116.18 k (13.97%)]