Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-01-2012, 04:03 PM   #31
kidlovecrazy
+Thành Viên+
 
kidlovecrazy's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 91
Thanks: 45
Thanked 29 Times in 24 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kidlovecrazy
Cuối giờ quên bỏ đi cái nghiệm $f(x)=-3x $ lên định ghi thêm tí mà cô không cho ec ngu ghê....
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
3rach03ma
kidlovecrazy is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 04:20 PM   #32
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 567
Thanks: 24
Thanked 536 Times in 262 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài 7(6 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f $ xác định trên tập số thực $\mathbb R $, lấy giá trị trong $\mathbb R $ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1/ $f $ là toàn ánh từ $\mathbb R $ đến $\mathbb R $;
2/ $f $ là hàm số tăng trên $\mathbb R $;
3/ $f(f(x))=f(x)+12x $ với mọi số thực $x $.
Trước hết do $f $ là hàm tăng và $f(0)=0 $ nên ta có ngay $f(x)>0, \forall x>0; f(x)<0, \forall x<0 $
Đặt $\[{f_n}\left( x \right) = \underbrace {f\left( {f\left( {...f\left( x \right)} \right)} \right)}_{n{\rm{ lan }}f}\] $
Xét phương trình đặc trưng của dãy $f_n(x) $ ta có:
$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm $t_1=-3, t_2=4 $. Khi đó ta tính được:
$f_n(x)=\frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}{\left( { - 3} \right)^n} + \frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}{4^n} $ (1)
Dễ thấy $f $ là đơn ánh và kết hợp với giả thiết $f $ là toàn ánh ta được $f $ là song ánh.
Do đó từ (1) ta được:
$\[{f_{ - n}}\left( x \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}{\left( { - 3} \right)^{ - n}} + \frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}{4^{ - n}}\] $ (2)
Trong đó $\[{f_{ - n}}\left( x \right) = \underbrace {{f^{ - 1}}\left( {{f^{ - 1}}\left( {...{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)} \right)}_{nlan{f^{ - 1}}}\] $
Từ (1) và (2) ta được:
$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( { - 3} \right)^n}{f_{ - n}}\left( x \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7};\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( 4 \right)^{ - n}}{f_n}\left( x \right) = \frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}\] $
Từ đó suy ra
$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( { - 3} \right)^n}{f_{ - n}}\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( 4 \right)^{ - n}}{f_n}\left( x \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}.\frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}\] $
hay suy ra $\[\lim_{n\to +\infty}\left( {{{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^n}{f_{ - n}}\left( x \right).{f_n}\left( x \right)} \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}.\frac{{3x + f\left( x \right)}}{7} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^n}x} \right) = 0\] $
TH1. Nếu $\[\frac{{4x - f\left( x \right)}}{7} = 0;\forall x \in \mathbb{R}\] $ thì ta có ngay hàm $f(x)=4x $
TH2. Nếu tồn tại $x_0 $ sao cho $\frac{{4x - f\left( x \right)}}{7} \neq 0 $ thì ta có $f(x_0)=-3x_0 $.
Từ (1) ta được:
$\[{f_n}\left( {{x_0}} \right) = \frac{{4{x_0} - f\left( {{x_0}} \right)}}{7}{\left( { - 3} \right)^n}\] $ (3)
Kết hợp với $f(x)>0, \forall x>0; f(x)<0, \forall x<0 $
Nếu vế trái của (3) dương thì ta chọn được $n $ để vế phải âm. Nếu vế trái của (3) âm thì ta chọn được $n $ để vế phải đương vô lí. Vậy trường hợp 2 không xảy ra.
Vậy $f(x)=4x, \forall x\in \mathbb{R} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 12-01-2012 lúc 04:22 PM
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to ThangToan For This Useful Post:
huynhcongbang (12-01-2012), n.v.thanh (12-01-2012), thanhorg (12-01-2012), TKT (14-01-2012), YUGI_94_K51 (14-01-2012)
Old 12-01-2012, 04:34 PM   #33
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Hướng giải như anh Thần chắc là đúng rồi. Ngoài ra có một lời giải "hơi khác" một tí là, từ f toàn ánh và f là hàm tăng ta suy ra f liên tục. Và làm tương tự bài trang 126 từ quyển [Only registered and activated users can see links. ], thay vì đó đề là $f(f(x))=f(x)+2x $.
Nó giống bài này nhiều hơn chú này: Tìm tất cả f:R==>R sao cho f liên tục trên R và f(f(x))=f(x)+x với mỗi x. (Hung-Israel 2001)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf P7.pdf (143.8 KB, 245 lần tải)
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to n.t.tuan For This Useful Post:
ThangToan (12-01-2012)
Old 12-01-2012, 04:39 PM   #34
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Em thấy nó có gì khác nhau đâu, bài của anh nghiệm còn xấu hơn chứ . Bài của em đề là : "Tìm tất cả f:R=>R sao cho f liên tục trên R và f(f(x))=f(x)+2x với mọi x"

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 04:43 PM   #35
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Nghiệm là tỷ số vàng lại bảo xấu?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to n.t.tuan For This Useful Post:
n.v.thanh (12-01-2012)
Old 12-01-2012, 04:52 PM   #36
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 567
Thanks: 24
Thanked 536 Times in 262 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.t.tuan View Post
Nghiệm là tỷ số vàng lại bảo xấu?
anh cố tình chọn bài này ạh. Anh Tuân (Th.)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 04:53 PM   #37
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Không phải em ạ. Bài đó là thi Hung-Israel năm 2001 mà em?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 05:13 PM   #38
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Đây là một bài toán quen thuộc, người ra đề chỉ thay đổi một điều kiện cho hàm ban đầu, ở đây là toàn ánh và tăng ( hiển nhiên là sẽ phải nghĩ ngay đến song ánh và tồn tại hàm ngược, dù có thể ở lời giải mình không cần dùng).

Quan sát 1: $f $ toàn ánh và tăng nên $f $ là song ánh
Quan sát 2: Đoán các hàm đơn giản thỏa mãn, thử với $f(x) = ax $, dễ thấy $a^2x = ax + 12x $, do đó $a = -3 $ hoặc $a = 4 $, và chỉ có $a = 4 $ thỏa mãn điều kiện tăng của hàm $f $.

Quan sát 3: Tính một vài giá trị đặc biệt của $f $. Ở đây đơn giản nhất là $f(f(0)) = f(0)+12\times 0 $ hay $f(f(0)) = f(0) $, do$ f $ là song ánh nên $f(0) = 0 $.

Quan sát 4: vì $f(0) = 0 $ và $f $ tăng nên $f $ dương với $x $ dương và $f $ âm với $x $ âm.

Quan sát 5: với phương trình đã cho thì nghĩ ngay đến dùng dãy số để giải. OK sau khi tính toán thì ta thu được $ f_{n}(x) = A(x)(-3)^n + B(x)4^n $ với $A(x) = \frac{4x-f(x)}{7} $ và $B(x) = \frac{3x + f(x)}{7}} $. Với quan sát 4, thì ta đi xét tính âm dương của $f_n(x) $ với $n $ dương thì $A(x)(-3)^n + B(x)4^n > 0 $ cho $x $ dương, hum hiển nhiên thỏa mãn. Tuy nhiên, nếu chú ý là ở phía ta mới chỉ định nghĩa cho $f_n(x) $ với $n\ge 0 $. Nếu ta có $n < 0 $ thì sao? Với $A(x) \neq 0 $ và $x $ dương cố đinh, thì hiển nhiên tồn tại $n $ âm sao cho $f_n(x) < 0 $ và ngược lại. Câu hỏi là, vậy $f_{-n}(x) $ là cái gì? Ở phần dãy số thì ta biết rằng dãy $a_n = a_{n-1} + 12 a_{n-2} $ có thể mở rộng được cho $n = -1,-2,... $.
Thử với $n = -1 $ ở đây xem, ta sẽ phải có $f(x) = x + 12f_{-1}(x) $, A ha, nhưng mà ở đề bài là $f(f(x)) = f(x) + 12x $ cơ mà??? Ta cần phải thay $x $ bởi $y $ nào đó mà $f(y) = x $, chính là hàm ngược. Nhớ đến quan sát 1: $f $ song ánh nên tồn tại duy nhất $g(x) $ để $f(g(x)) = x $
thay vào: $f(f(g(x)) = f(g(x)) + 12g(x) $ hay $f(x) = x + 12g(x) $. OK rồi, vậy $f_{-1}(x) = g(x) $ là hàm ngược của $x $ và $f_{-n}(x) = g_n(x) $.
Còn điều kiện $f_{-n}(x) > 0 $ với $x > 0 $ và ngược lại thì sao? OK dễ thôi, $f $ dương nếu $x $ dương và âm nếu $x $ âm, do đó $g $ cũng dương nếu $x $ dương và âm nếu $x $ âm. Kéo theo $g_n(x) $ dương nếu $x $ dương và âm nếu $x $ âm.

Phía trên là các bước suy luận và tìm lời giải . Lúc trình bày thì có thể trình bày như bạn chemthan ở trên. Có thể thấy là mọi điều kiện ở đề bài đều được tận dụng tối đa. Mấu chốt là hàm ngược của $f $ cũng thỏa mãn phương trình ban đầu và dấu của $f $ và hàm ngược của $f $. Tất cả chỉ cần một chú ý quan sát cơ bản là ok hết.

Hi vọng mọi người đã có một kì thi vui vẻ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 12-01-2012 lúc 05:31 PM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 10 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post:
anhdunghmd (12-01-2012), hansongkyung (26-04-2012), khicon (12-01-2012), ltdung_t2k19 (12-01-2012), nghiepdu-socap (13-01-2012), ngocson_dhsp (12-01-2012), TKT (14-01-2012), TNP (18-01-2013), vjpd3pz41iuai (12-01-2012), YUGI_94_K51 (12-01-2012)
Old 12-01-2012, 05:24 PM   #39
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Quý cho đi viết văn thì hợp.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 06:01 PM   #40
Phan Duy Anh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Việt Nam
Bài gởi: 5
Thanks: 28
Thanked 1 Time in 1 Post
Theo mọi người với đề như năm nay từ bao nhiêu điểm sẽ được giải ba trở lên? So với đề năm ngoái thì đề năm nay thế nào? Mọi người cho ý kiến nha.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Phan Duy Anh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 07:50 PM   #41
khicon
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Bài gởi: 73
Thanks: 77
Thanked 19 Times in 14 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Phan Duy Anh View Post
Theo mọi người với đề như năm nay từ bao nhiêu điểm sẽ được giải ba trở lên? So với đề năm ngoái thì đề năm nay thế nào? Mọi người cho ý kiến nha.
còn xem năm nay trình độ mặt bằng chung thế nào? năm ngoái thi về mới day1 đã thấy khóc lóc kêu ầm ỹ, năm nay thấy bảo làm tốt lắm => điểm giải cao
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khicon, 12-01-2012 lúc 07:55 PM
khicon is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to khicon For This Useful Post:
Phan Duy Anh (13-01-2012)
Old 12-01-2012, 07:57 PM   #42
shido_soichua
Maths is my life
 
shido_soichua's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Ninh Bình
Bài gởi: 300
Thanks: 31
Thanked 132 Times in 76 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới shido_soichua
Trích:
Nguyên văn bởi khicon View Post
còn xem năm nay trình độ mặt bằng chung thế nào? năm ngoái thi về mới day1 đã thấy khóc lóc kêu ầm ỹ, năm nay thấy bảo làm tốt lắm => điểm giải cao
Bạn này Hà Nam nhỉ :-p. Năm nay đội Hà Nam liệu có nữ TST ko
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://luongvantuy.org/forum.php
Chuyên Văn - Lương Văn Tụy
shido_soichua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 08:08 PM   #43
khicon
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Bài gởi: 73
Thanks: 77
Thanked 19 Times in 14 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi shido_soichua View Post
Bạn này Hà Nam nhỉ :-p. Năm nay đội Hà Nam liệu có nữ TST ko
mình k thi nên không biết bạn ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khicon is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 10:36 PM   #44
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,061 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Hướng giải như anh Thần chắc là đúng rồi. Ngoài ra có một lời giải "hơi khác" một tí là, từ f toàn ánh và f là hàm tăng ta suy ra f liên tục. Và làm tương tự bài trang 126 từ quyển này, thay vì đó đề là $f(f(x))=f(x)+2x $.

Thầy Nam Dũng nghĩ gì về bài này ạ ?
Bài này ý tưởng không mới nhưng cũng không phải là sao chép tầm thường. Để làm 1 bài thi VMO là tốt, kiểm tra được kỹ thuật cơ bản.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to namdung For This Useful Post:
AnhIsGod (24-05-2012)
Old 13-01-2012, 03:12 AM   #45
hungmat
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ThangToan View Post
Trước hết do $f $ là hàm tăng và $f(0)=0 $ nên ta có ngay $f(x)>0, \forall x>0; f(x)<0, \forall x<0 $
Đặt $\[{f_n}\left( x \right) = \underbrace {f\left( {f\left( {...f\left( x \right)} \right)} \right)}_{n{\rm{ lan }}f}\] $
Xét phương trình đặc trưng của dãy $f_n(x) $ ta có:
$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm $t_1=-3, t_2=4 $. Khi đó ta tính được:
$f_n(x)=\frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}{\left( { - 3} \right)^n} + \frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}{4^n} $ (1)
Dễ thấy $f $ là đơn ánh và kết hợp với giả thiết $f $ là toàn ánh ta được $f $ là song ánh.
Do đó từ (1) ta được:
$\[{f_{ - n}}\left( x \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}{\left( { - 3} \right)^{ - n}} + \frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}{4^{ - n}}\] $ (2)
Trong đó $\[{f_{ - n}}\left( x \right) = \underbrace {{f^{ - 1}}\left( {{f^{ - 1}}\left( {...{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)} \right)}_{nlan{f^{ - 1}}}\] $
Từ (1) và (2) ta được:
$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( { - 3} \right)^n}{f_{ - n}}\left( x \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7};\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( 4 \right)^{ - n}}{f_n}\left( x \right) = \frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}\] $
Từ đó suy ra
$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( { - 3} \right)^n}{f_{ - n}}\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( 4 \right)^{ - n}}{f_n}\left( x \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}.\frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}\] $
hay suy ra $\[\lim_{n\to +\infty}\left( {{{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^n}{f_{ - n}}\left( x \right).{f_n}\left( x \right)} \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}.\frac{{3x + f\left( x \right)}}{7} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^n}x} \right) = 0\] $
TH1. Nếu $\[\frac{{4x - f\left( x \right)}}{7} = 0;\forall x \in \mathbb{R}\] $ thì ta có ngay hàm $f(x)=4x $
TH2. Nếu tồn tại $x_0 $ sao cho $\frac{{4x - f\left( x \right)}}{7} \neq 0 $ thì ta có $f(x_0)=-3x_0 $.
Từ (1) ta được:
$\[{f_n}\left( {{x_0}} \right) = \frac{{4{x_0} - f\left( {{x_0}} \right)}}{7}{\left( { - 3} \right)^n}\] $ (3)
Kết hợp với $f(x)>0, \forall x>0; f(x)<0, \forall x<0 $
Nếu vế trái của (3) dương thì ta chọn được $n $ để vế phải âm. Nếu vế trái của (3) âm thì ta chọn được $n $ để vế phải đương vô lí. Vậy trường hợp 2 không xảy ra.
Vậy $f(x)=4x, \forall x\in \mathbb{R} $
Bạn xem lại chỗ $\[{f_{ - n}}\left( x \right).{f_n}\left( x \right)} = x ] $, hình như nhầm rồi đấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hungmat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:48 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 108.23 k/124.62 k (13.15%)]