Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 09-07-2012, 09:50 PM   #1
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
[IMO 2012] Bài 5 - Hình học phẳng

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ACB} = 90^\circ$ và $D$ là chân đường cao tương ứng với đỉnh $C$. Gọi $X$ là một điểm trong của đoạn thẳng $CD$. Gọi $K$ là điểm trên đoạn thẳng $AX$ sao cho $BK=BC$. Tương tự, gọi $L$ là điểm trên đoạn thẳng $BX$ sao cho $AL=AC$. Gọi $M$ là giao điểm của $AL$ và $BK$. Chứng minh rằng $MK=ML$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.

thay đổi nội dung bởi: novae, 12-07-2012 lúc 02:11 AM
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
boykhtna1 (12-07-2012), thanhorg (12-07-2012), thiendieu96 (13-07-2012), tuanh208 (12-07-2012), yamatunga (12-07-2012)
Old 12-07-2012, 02:59 AM   #2
tuanh208
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Bài gởi: 35
Thanks: 11
Thanked 25 Times in 13 Posts
Hạ $BP\perp AX, AQ\perp BX $.
Gọi $S $ là giao điểm của $AQ $ và $BP $.
Vì $X $ là trực tâm tam giác $SAB $ nên $SX\perp AB \Rightarrow S\in CD $.
Ta có$ AL^2=AC^2=AD.AH=AQ.AS\Rightarrow \widehat{ALS}=90^0 $
$\Rightarrow SL^2=SQ.SA $
Tương tự $SK^2=SP.SB $
Từ đó $SL=SK $ mà $\widehat{MLS}=90^0=\widehat{MKS}=90^0 $ nên $ML=MK $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tuanh208 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to tuanh208 For This Useful Post:
perfectstrong (12-07-2012), vietha_b2sty (13-07-2012), vietnamoi (12-07-2012)
Old 12-07-2012, 03:21 AM   #3
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts


Trước hết, ta có bổ đề sau :
Cho tam giác $ABG$ trực tâm $X$, các đường cao $GD,AE,BF$. Các đường tròn đường kính $GB,GA$ cắt $AX,BX$ tại $K,L$ theo thứ tự. Khi đó $GK=GL$.

Chứng minh bổ đề.
Ta có
$$ GK^2 = GE \cdot GB = GF \cdot GA = GL^2. $$
Suy ra $GK = GL$.

Trở lại với bài toán.

Gọi $G$ là trực tâm tam giác $AXB$; $K',L'$ là giao điểm của các đường tròn đường kính $GB,GA$ với $AX,BX$ theo thứ tự.
Từ bổ đề trên dễ dàng suy ra $K \equiv K', L \equiv L'$ và $GK=GL$. Mà tứ giác $GKML$ nội tiếp đường tròn đường kính $GM$ nên ta có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png IMO P5.png (19.0 KB, 399 lần tải)
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
bboy114crew (12-07-2012), hanamichi1302 (16-08-2012), Mệnh Thiên Tử (12-07-2012), perfectstrong (12-07-2012), thiendieu96 (13-07-2012), yamatunga (12-07-2012)
Old 12-07-2012, 06:27 AM   #4
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Bài này làm thêm ra thì được khá nhiều cái thú vị:
1.$BM,AM $ cắt $AC,BC $ tại $S,T $ thì $CSMT $ là tứ giác ngoại tiếp
2.O là tâm ngoại tiếp $CKL $ thì $CO $ là phân giác góc $BCA $ và $XM, CO $ đồng quy trên $AB $.
3. O là giao của đường tròn ngoại tiếp $CLT $ và $CKS $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
hanamichi1302 (16-08-2012), hoang_kkk (12-07-2012)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:11 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 52.88 k/59.24 k (10.75%)]