Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 15-11-2012, 02:45 PM   #31
nguoibimat
+Thành Viên+
 
nguoibimat's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp
Bài gởi: 373
Thanks: 174
Thanked 92 Times in 69 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi congvan View Post
Bài 13 :Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn : $a+b+c=0$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$. Chứng minh rằng ${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\le \frac{1}{54}$.
Theo đề ta có:
$b+c=-a $
mà $bc=\frac{(b+c)^2-(b^2+c^2)}{2}=a^2-\frac{1}{2}$
Ta lại có: $(b+c)^2 \geq 4bc$ suy ra $a^2 \geq 4a^2 -2 \Rightarrow a^2 \leq \frac{2}{3}$
Từ đó ta có: $a^2b^2c^2 = a^2(a^2-\frac{1}{2})^2 = a^6-a^4+\frac{a^2}{4}$
Ta quy về việc tìm GTLN của hàm $f(t)=t^3-t^2+\frac{t^2}{4}$ với $0 \leq t \leq \frac{2}{3}$.
Lập bảng biến thiên rồi suy ra dpcm.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học toán là niềm hứng thú của đời tôi
nguoibimat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to nguoibimat For This Useful Post:
congvan (15-11-2012), NguyenThanhThi (15-11-2012), nliem1995 (15-11-2012), wangyoo (12-08-2014)
Old 15-11-2012, 04:16 PM   #32
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi xiloxila View Post
Baì 12: Cho $x,y,z>0 $ thỏa mãn $2x+4y+7z=2xyz $ Chứng minh $x+y+z\geq \frac{15}{2} $
Áp dụng giả thiết ta sẽ có
$z=\dfrac{2x+4y}{2xy-7}$
suy ra $P = x + y + \dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$$ P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \left( {y - \dfrac{7}{{2x}}} \right) + \left( {\dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}} - \dfrac{2}{x}} \right) $$

$$ \Leftrightarrow P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \dfrac{{2xy - 7}}{{2x}} + \dfrac{{2{x^2} + 7}}{{2xy - 7}} $$

$$ \Leftrightarrow P \geqslant x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \dfrac{{2\sqrt {{x^2} + 7} }}{x} $$

Xét hàm số theo biến $x$ và lấy đạo hàm ta sẽ có được

$f'(x) = 1 - \frac{{11}}{{2x^2 }} - \frac{{14}}{{x^3 \sqrt {1 + \frac{7}{{x^2 }}} }}
$

Dễ thấy rằng $f'(x )$tăng khi $x>0$, và $f'(3)=0$

suy ra $ {P_{\min }} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow x = 3,y = \dfrac{5}{2},z = 2 $

@ xiloxila bài $11$ max chính là $1$ đó bạn mình giải rõ lắm mà.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì

thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 15-11-2012 lúc 07:12 PM
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
alentist (17-11-2012), congvan (16-11-2012), nanonanato (17-11-2012), nguoibimat (15-11-2012), nliem1995 (15-11-2012), trungthu10t (15-11-2012)
Old 15-11-2012, 05:30 PM   #33
trungthu10t
+Thành Viên+
 
trungthu10t's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Cao Lãnh
Bài gởi: 149
Thanks: 58
Thanked 76 Times in 36 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi NguyenThanhThi View Post

$$ P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \left( {y - \dfrac{7}{{2x}}} \right) + \left( {\dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}} - \dfrac{2}{x}} \right) $$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu
trungthu10t is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to trungthu10t For This Useful Post:
NguyenThanhThi (15-11-2012), taitueltv (17-09-2014)
Old 15-11-2012, 06:21 PM   #34
xiloxila
+Thành Viên+
 
xiloxila's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Đến từ: Lỗ đen của vũ trụ
Bài gởi: 52
Thanks: 19
Thanked 9 Times in 8 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi NguyenThanhThi View Post
Áp dụng giả thiết ta sẽ có $z=\dfrac{2x+4y}{2xy-7}$ suy ra $P = x + y + \dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}}$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: $$ P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \left( {y - \dfrac{7}{{2x}}} \right) + \left( {\dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}} - \dfrac{2}{x}} \right) $$ $$ \Leftrightarrow P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \dfrac{{2xy - 7}}{{2x}} + \dfrac{{2{x^2} + 7}}{{2xy - 7}} $$ $$ \Leftrightarrow P \geqslant x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \dfrac{{2\sqrt {{x^2} + 7} }}{x} $$ Xét hàm số theo biến $x$ và lấy đạo hàm ta sẽ có được $f'(x) = 1 - \frac{{11}}{{2x^2 }} - \frac{{14}}{{x^3 \sqrt {1 + \frac{7}{{x^2 }}} }} \]$ Dễ thấy rằng $f'(x )$tăng khi $x>0$, và $f'(3)=0$ suy ra $ {P_{\min }} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow x = 3,y = \dfrac{5}{2},z = 2 $ @ xiloxila bài $11$ max chính là $1$ đó bạn mình giải rõ lắm mà.
Umh. thấy rồi Giống như vầy cũng có một cách khác: Từ đề bài suy ra: $z(2xy-7)=2x+4y $$\Rightarrow z=\frac{2x+4y}{2xy-7} $
Từ đó ta có: $x+y+z=x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7} $$=\frac{1}{2y}(2xy-7+7)+y+ $$\frac{\frac{1}{y}(2xy-7+7)+4y}{2xy-7}= $$\frac{9}{2y}+y+\frac{1}{2y}(2xy-7)+\frac{\frac{7}{y}+4y}{2xy-7} $$\geq y+\frac{9}{2y}+2\sqrt{\frac{\frac{7}{y}+4y}{2y} $$=y+\frac{9}{2y}+2\sqrt{\frac{7}{2y^2}+2}=g(y) $
Khảo sát $g(y)$, $g'(y)=1-\frac{9}{2y^2} $$-\frac{28y}{y^3\left \sqrt{( \frac{7}{2y^2}+2 \right )}} $
Cũng dễ thấy $g'(y)$ tăng với $x>0$ và $g(y)\geq g(\frac{5}{2})=\frac{15}{2}$
Đẳng thức xảy ra $x=3$, $y=\frac{5}{2}$ và $z=2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
xiloxila is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to xiloxila For This Useful Post:
congvan (16-11-2012), NguyenThanhThi (15-11-2012)
Old 15-11-2012, 07:17 PM   #35
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Bài 14:Các bạn thử giải nhé

Cho $a,\,b,\,c \in \left[\frac{1}{2},\, 2\right].$ Chứng minh rằng $$(a+b+c)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \le \frac{27}{2}.$$

@Anh Phúc:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì

thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 15-11-2012 lúc 07:19 PM
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
congvan (22-11-2012), hotraitim (16-11-2012)
Old 16-11-2012, 08:26 PM   #36
hotraitim
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 41
Thanks: 79
Thanked 8 Times in 5 Posts
Giải bài 14

Đây là lời giải của anh Võ Quốc Bá Cẩn mình vừa tìm thấy nhưng không giải bằng hàm.Không biết có cách nào giải bài này bằng hàm không?

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hotraitim is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to hotraitim For This Useful Post:
alentist (17-11-2012), cool hunter (15-09-2013), nanonanato (16-11-2012)
Old 16-11-2012, 11:50 PM   #37
khanhphuong28
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 10
Thanks: 3
Thanked 29 Times in 8 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi NguyenThanhThi View Post
Bài 14:Các bạn thử giải nhé

Cho $a,\,b,\,c \in \left[\frac{1}{2},\, 2\right].$ Chứng minh rằng $$(a+b+c)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \le \frac{27}{2}.$$

@Anh Phúc:
Trong bài toán này ta xét độc lập.
Đặt $F(a)=(a+b+c)( \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$
Ta có $F'(a)=(b+c)( \dfrac{a^2-bc}{a^2bc}), F'(a)=0 \Rightarrow a=- \sqrt{bc}, a= \sqrt{bc}$
Lập bảng biến thiên ta có $MaxF(a)=Max[F( \dfrac{1}{2});F(2)]$.
Đặt $G(b)=F( \dfrac{1}{2})=( \dfrac{1}{2}+b+c)(2+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$
$G'(b)=(2c+1)( \dfrac{2b^2-c}{2b^2c}),G'(b)=0 \Rightarrow b=- \sqrt{ \dfrac{c}{2}}, b= \sqrt{ \dfrac{c}{2}}$
Lập bảng biến thiên ta có $MaxG(b)= Max[G( \dfrac{1}{2});G(2)]$
Đặt $G_1(c)=G( \dfrac{1}{2})=4c+5+ \dfrac{1}{c} \le \dfrac{27}{2} \Rightarrow MaxG_1(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c=2,b= \dfrac{1}{2}, a= \dfrac{1}{2}$
Đặt $G_2(c)=G(2)= \dfrac{5}{2}c+ \dfrac{29}{4}+ \dfrac{5}{2c} \le \dfrac{27}{2} \Rightarrow MaxG_2(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c= \dfrac{1}{2}, b=2, a= \dfrac{1}{2}$ hoặc $c=2,b=2,a= \dfrac{1}{2}$
Đặt $H(b)= F(2)=(2+b+c)( \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$
$H'(b)=(2+c)( \dfrac{b^2-2c}{2b^2c}), H'(b)=0 \Rightarrow b=- \sqrt{2c},b= \sqrt{2c}$
Lập bảng biến thiên ta có $MaxH(b)=Max[H( \dfrac{1}{2});H(2)]$
Đặt $H_1(c)=H( \dfrac{1}{2})= \dfrac{5c}{2}+ \dfrac{29}{4}+ \dfrac{5}{2c} \le \dfrac{27}{2} \Rightarrow MaxH_1(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c=2,b= \dfrac{1}{2},a=2$ hoặc $c= \dfrac{1}{2},b= \dfrac{1}{2},a=2$
Đặt $H_2(c)=H(2)=c+5+ \dfrac{4}{c} \le \dfrac{27}{2}$
$MaxH_2(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c= \dfrac{1}{2},b=2,a=2$
Vậy $MaxF= \dfrac{27}{2}$ khi bộ $(a;b;c)$ là $( \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2};2);(2;2; \dfrac{1}{2})$ và các hoán vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khanhphuong28, 17-11-2012 lúc 12:07 AM
khanhphuong28 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to khanhphuong28 For This Useful Post:
alentist (17-11-2012), congvan (22-11-2012), dangnamneu (22-04-2014), nanonanato (17-11-2012), NguyenThanhThi (17-11-2012)
Old 17-11-2012, 08:31 PM   #38
alentist
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Bài gởi: 40
Thanks: 23
Thanked 1 Time in 1 Post
Bài 15:Cho $x,y,z\in [1;3]$ và thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=14$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{z}{x}\right)$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
alentist is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-11-2012, 08:26 PM   #39
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi alentist View Post
Bài 15:Cho $x,y,z\in [1;3]$ và thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=14$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{z}{x}\right)$$
Alentist thân mếm trước tiên thì mình xin đính chính là bài này dường như không giải bằng hàm.Tuy nhiên bài này cũng có cái hay là trong đoạn video anh Cẩn đã phân tích ý tưởng đoán nghiệm rất kĩ dựa trên các tính chất hàm.
Thứ hai mình xin được phép post lời giải của anh Võ Quốc Bá Cẩn và cái video của anh ấy mà lúc trước mình đã từng xem qua bên diễn đàn toanphothong.vn
Nội dung giải bài này như sau:
Ta sẽ chứng minh $ P \ge -8$ với dấu bằng xảy ra khi $x=1,\,y=3,\, z=2.$ Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với $$\left(\frac{y}{x} -1\right) \left(\frac{z}{x}+2 \right) \le 8,$$ hay $$2 \left(\frac{y}{x}-1\right) \cdot \left(\frac{z}{x}+2\right) \le 16.$$ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $$2 \left(\frac{y}{x}-1\right) \cdot \left(\frac{z}{x}+2\right) \le \left[\frac{ 2 \left(\frac{y}{x}-1\right) + \left(\frac{z}{x}+2\right)}{2}\right]^2 = \left(\frac{\frac{2y}{x} +\frac{z}{x} }{2}\right)^2.$$ Do đó, bài toán được đưa về chứng minh $$\left(\frac{\frac{2y}{x} +\frac{z}{x} }{2}\right)^2 \le 16.$$ Bất đẳng thức này có thể được viết lại thành $$\frac{2y}{x}+\frac{z}{x} \le 8,$$ hay tương đương $$2y+z \le 8x.$$ Tới đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM thêm một lần nữa, ta có $$2y+z \le 2\cdot \frac{y^2+9}{6}+\frac{z^2+4}{4} =\frac{4y^2+3z^2+48}{12} =\frac{y^2+3(y^2+z^2)+48}{12} \le \frac{9+3(14-x^2)+48}{12} =\frac{33-x^2}{4}.$$ Và ta đi đến việc chứng minh bất đẳng thức cuối cùng là $$33-x^2 \le 32x,$$ tức $$(x-1)(x+33) \ge 0.$$ Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $x \ge 1.$

Vậy ta có $\min P =-8.$ $\blacksquare$
Rõ ràng sau khi nghe phân tích hướng giải thì bài toán này hoàn toàn tự nhiên.
Video phân tích ý tưởng cho lời giải:
[Only registered and activated users can see links. ]
ERROR: If you can see this, then [Only registered and activated users can see links. ] is down or you don't have Flash installed.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì

thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 18-11-2012 lúc 08:43 PM
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
alentist (28-11-2012), cool hunter (15-09-2013), taitueltv (17-09-2014)
Old 20-11-2012, 10:11 PM   #40
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Bài 16: Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thoả $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $a^2b+b^2c+c^2a \leq \frac{4}{27}$
Đây là bài toán giải được bằng hàm, ngắn hơn hay hơn và tự nhiên hơn rất nhiều so với các cách giải khác
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì

thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 20-11-2012 lúc 10:48 PM Lý do: Đã fix
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-11-2012, 10:46 PM   #41
tranghieu95
+Thành Viên+
 
tranghieu95's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Phan Bội Châu- Nghệ An
Bài gởi: 382
Thanks: 187
Thanked 364 Times in 197 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới tranghieu95
Trích:
Nguyên văn bởi NguyenThanhThi View Post
Bài 16: Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thoả $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $a^2b+b^2c+c^a \leq \frac{4}{27}$
Đây là bài toán giải được bằng hàm, ngắn hơn hay hơn và tự nhiên hơn rất nhiều so với các cách giải khác
$c^2a$ hay $c^a$ vậy bn?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39
XIN LỖI ĐÃ THẤT HỨA NHÉ

KỆ
tranghieu95 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to tranghieu95 For This Useful Post:
NguyenThanhThi (20-11-2012)
Old 27-11-2012, 12:24 PM   #42
nguoibimat
+Thành Viên+
 
nguoibimat's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp
Bài gởi: 373
Thanks: 174
Thanked 92 Times in 69 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi NguyenThanhThi View Post
Bài 16: Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thoả $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $a^2b+b^2c+c^2a \leq \frac{4}{27}$
Đây là bài toán giải được bằng hàm, ngắn hơn hay hơn và tự nhiên hơn rất nhiều so với các cách giải khác
Giả sử $x=min{a;b;c}$ , từ đó ta suy ra $0\leq a\leq \frac{1}{3}$. Ta lại có:
$a^2b+b^2c+c^2a \leq \frac{4}{27}$
\Leftrightarrow $a^2b+b^2c+c^2a - \frac{4}{27}\leq 0$
Vì $0\leq a\leq \frac{1}{3} \Rightarrow a^2 \leq \frac{a}{3}\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a - \frac{4}{27}\leq \frac{ab}{3}+b^2c+c^2a -\frac{4}{27}=(\frac{b}{3}+c^2)a+b^2c-\frac{4}{27}=f(a)$
Tới đây ta đi chứng mình $f(a) \leq 0$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học toán là niềm hứng thú của đời tôi

thay đổi nội dung bởi: nguoibimat, 27-11-2012 lúc 12:29 PM
nguoibimat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to nguoibimat For This Useful Post:
NguyenThanhThi (27-11-2012)
Old 28-11-2012, 06:44 PM   #43
tir
+Thành Viên+
 
tir's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: 26
Bài gởi: 136
Thanks: 47
Thanked 125 Times in 81 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nguoibimat View Post
Giả sử $x=min{a;b;c}$ , từ đó ta suy ra $0\leq a\leq \frac{1}{3}$. Ta lại có:
$a^2b+b^2c+c^2a \leq \frac{4}{27}$
\Leftrightarrow $a^2b+b^2c+c^2a - \frac{4}{27}\leq 0$
Vì $0\leq a\leq \frac{1}{3} \Rightarrow a^2 \leq \frac{a}{3}\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a - \frac{4}{27}\leq \frac{ab}{3}+b^2c+c^2a -\frac{4}{27}=(\frac{b}{3}+c^2)a+b^2c-\frac{4}{27}=f(a)$
Tới đây ta đi chứng mình $f(a) \leq 0$
Lời giải này có đúng không nhỉ? Vì nếu xem $b,c$ là các tham số thì giá trị của b và c phải là hằng số với a . Trong khi b và c lại phụ thuộc vào a, rõ ràng $a+b+c=3$

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
It's all coming back to me now

thay đổi nội dung bởi: tir, 29-11-2012 lúc 12:18 PM
tir is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-11-2012, 09:27 PM   #44
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Giải bài 16
Cách cổ điển trích cách giải của tir
Đặt $x=3a, y=3b, z=3c. $ Khi đó, $x+y+z=3(a+b+c)=3 $
Ta cần chứng minh: $$x^2y+y^2z+z^2x\le 4$$
Lại có bất đẳng thức sau: $$x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le4$$
Không mất tính tổng quát, giả sử b nằm giữa a và c
Khi đó, bằng phép biến đổi tương đương, ta chứng minh đc
$$x^2y+y^2z+z^2x+xyz \le x^2y+xyz+z^2y+xyz
= y(x+z)^2 \le \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{2y+x+z+x+z}{3}\right)^3=4 $$
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(\frac{2}{3},\frac{1}{3},0)$ và các hoán vị
Cách bằng hàm
Giả sử $a=min{a;b;c}$ , từ đó ta suy ra $0\leq a\leq \frac{1}{3}$. Ta lại có:
$a^2b+b^2c+c^2a \leq \frac{4}{27}$
\Leftrightarrow $a^2b+b^2c+c^2a - \frac{4}{27}\leq 0$
Vì $0\leq a\leq \frac{1}{3} \Rightarrow a^2 \leq \frac{a}{3}\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a - \frac{4}{27}\leq \frac{ab}{3}+b^2c+c^2a -\frac{4}{27}=(\frac{b}{3}+c^2)a+b^2c-\frac{4}{27}=f(a)$
Chia $2$ trường hợp
_ Nếu $\frac{1}{3}b+c^2=0$ thì $b=c=0$ bất đẳng thức hiển nhiên đúng
_Nếu $\frac{1}{3}y+z^2\neq 0$
+Ta lại có $f(0)=b^2c-\frac{4}{27}$ và $b+c=1$
Theo cauchy thì $b^2c\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2(y+z)}{3} \right )^3=\frac{4}{27}$
+$f(\frac{1}{3})=b^2c+\frac{y}{9}+\frac{1}{3}c^2-\frac{4}{27}=-b^3+b^2-\frac{1}{3}y\leq 0$
Kết luận bất đẳng thức đúng và Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(\frac{2}{3},\frac{1}{3},0)$ và các hoán vị
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì

thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 29-11-2012 lúc 12:58 PM
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
congvan (01-12-2012)
Old 30-11-2012, 03:21 PM   #45
tikita
Administrator

 
Tham gia ngày: Jun 2012
Bài gởi: 157
Thanks: 2
Thanked 83 Times in 53 Posts
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi NguyenThanhThi View Post
Alentist thân mếm trước tiên thì mình xin đính chính là bài này dường như không giải bằng hàm.Tuy nhiên bài này cũng có cái hay là trong đoạn video anh Cẩn đã phân tích ý tưởng đoán nghiệm rất kĩ dựa trên các tính chất hàm.
Thứ hai mình xin được phép post lời giải của anh Võ Quốc Bá Cẩn và cái video của anh ấy mà lúc trước mình đã từng xem qua bên diễn đàn toanphothong.vn
Nội dung giải bài này như sau:
Bài này giải bằng phương pháp hàm số cũng được mà bạn!
Ta sẽ giải bài toán: Cho $x,y,z\in [1;3]$ và thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq 14$, $y>x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{z}{x}\right)$$
Đặt $f(x)=\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{z}{x}\right)$, rỏ ràng $f(x)$ đồng biến trên $[1,3]$, nên ta có
$$\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{z}{x}\right)\geq (1-y).(2+z)$$
Ta có $(y-1)(z+2)=z(y-1)+2y-2\leq \dfrac{z^2+y^2-2y+1}{2}+2y-2\leq\dfrac{14-2y}{2}+2y-2\leq 8 $
Vậy $P\geq -8$, dấu bằng có khi và chỉ khi $x=1,y=3,z=2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: tikita, 30-11-2012 lúc 04:44 PM Lý do: Tự động gộp bài, xóa đi một ít do bị nhầm!!
tikita is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to tikita For This Useful Post:
congvan (01-12-2012), cool hunter (25-09-2013), dangnamneu (22-04-2014), NguyenThanhThi (30-11-2012)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:48 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 127.52 k/145.13 k (12.14%)]