Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Logic, Tập Hợp, Toán Rời Rạc

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 15-12-2012, 09:18 PM   #1
pega94
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gởi: 186
Thanks: 35
Thanked 17 Times in 17 Posts
Một bài ánh xạ

Cho em hỏi về một cách chứng minh bài toán sau Đề bài: Cho $f $ song ánh $X\rightarrow Y $ . Cho g là ánh xạ ngược của $f $. Hỏi g có toàn ánh hay không
Lời giải: Bây giờ định nghĩa như sau Cho ánh xạ $f: X\rightarrow Y $ và $g: Y\rightarrow X $ khi đó nếu $gof=id_X $ thì $g $ gọi là ngược trái của $f $, còn $f $ là ánh xạ ngược phải của $g $. Ngoài ra nếu $fog=id_{Y} $ thì ta nói g là ngược đối với $f $ và ngược lại $f $ là ngược với $g $ Chúng ta sẽ đi chứng minh 3 điều sau

Điều thứ nhất: Một ánh xạ có ngược trái khi và chỉ khi nó là ánh xạ đơn ánh
Bây giờ giả sử: $f:X\rightarrow Y $ có ánh xạ ngược trái là $g:Y\rightarrow X $ như vậy thì $gof=idX $.
Do vậy mà $x\in X $, ta có: $(gof)(x)=x $ Giả sử như : $f(x)=f(x') $. Khi đó ta có: $x'=(gof)(x')=g[f(x')]=g[f(x)]=x $ suy ra f là đơn ánh

Ngược lại, giả sử $f $ đơn ánh. Ta chứng tỏ $f $ có ánh xạ ngược trái
Chọn $x_0\in X $ và xác định một ánh xạ $g: Y \rightarrow X $như sau: $g(y)=\left\{\begin{matrix} x if y=f(x)\\ x_0 if y\notin Imf \end{matrix}\right. $
Khi đó $(gof)(x)=g(f(x))=x $$\Rightarrow gof=id_X $(*)
Chứng minh phần thứ 2: Một ánh xạ có ngược phải khi và chỉ khi nó có toàn ánh

Giả sử như $f $ có ánh xạ ngược phải thế thì $y\in Y $ do $fog=id_Y $, ta có:
$y=(fog)(y)=f(g(y)) $
Đặt $x=g(y) $ ta có $y=f(x) $, nghĩa là $f $ toàn ánh(**)

Từ (*) và (**) suy ra ánh xạ mà có ánh ạ ngược tức là có ngược trái và ngược phải thì sẽ song ánh( vừa đơn ánh vừa toàn ánh). Bây giờ chứng minh một tính chất nữa Nếu ánh xạ $f: X\Rightarrow Y $ có ánh xạ ngược trái $g $ và ánh xạ ngược phải là $h $ thì $g=h $. Ánh xạ ngược ấy là duy nhất kí hiệu là $f $ và người ta gọi là $f^{-1} $ mà trong bài toán là $g $ Chứng minh: từ giả thuyết ta có: $g=goid_{Y}=go(foh)=(gof)oh=id_Xoh=h $ Điều này chứng tỏ $h=g $ nên:
$gof=id_Y $ và $fog=id_X $
Cái này chứng tỏ $f $ là ngược của $g=f^{-1} $. Do vậy mà $f^{-1} $ cũng là hàm song ánh và $f=g^{-1}=(f^{-1})^-1 $ Do đó $g $ là hàm ngược của $f $ và song ánh nên $g $ toàn ánh
Lời giải này có đúng ạk
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: pega94, 15-12-2012 lúc 09:24 PM
pega94 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:58 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 39.05 k/42.45 k (7.99%)]