Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2014

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 04-01-2014, 11:51 AM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,155
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
[VMO 2014] Bài 7 - Tổ hợp + Số học

Bài 7. (6 điểm)

Tìm tất cả các bộ số gồm 2014 số hữu tỉ không nhất thiết phân biệt thỏa mãn điều kiện: nếu bỏ đi 1 số bất kỳ trong các số đó thì có thể chia các số còn lại thành 3 nhóm rời nhau sao cho mỗi nhóm gồm 671 số và tích tất cả các số trong mỗi nhóm bằng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
quocbaoct10 (04-01-2014), thiendieu96 (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 12:12 PM   #2
Lynk
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gởi: 2
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Mình xét được mỗi 2 trường hợp: Có ít nhất 4 số 0 và 2014 số bằng nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Lynk is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 12:34 PM   #3
quocbaoct10
Moderator
 
quocbaoct10's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa
Bài gởi: 539
Thanks: 292
Thanked 364 Times in 217 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Kelacloi View Post
) , vui thật . Em đang tính viết chuyên đề số học về bài Toán dạng này, ai dè giáo viên cho thi bà nó rồi. Buồn thiệt chứ, biết thế release trước cho anh em nó đọc
------------------------------
Bài này giải vầy.
i) Đưa bài Toán về trường hợp các số tự nhiên
ii) Gọi 2014 số tự nhiên đó là $n_1,n_2,..,n_{2014}$ .Đặt $S=n_1+n_2+..+n_{2014}$.
Từ việc có thể chia thành 3 nhóm có tổng bằng nhau nên:
$n_i \equiv S (mod 3) \forall i \in \overline{1;2014}$
iii) Đặt $n^{(1)}_k=\frac{1}{3}( n_k-e) .$ ( $e \in \{0;1;2} ; e\equiv S (mod 3) $
Ta thấy tính chất chia thành 3 nhóm vẫn bảo toàn với 2014 số $n^{(1)}_k$, bởi thế nên ta có thể đặt tiếp
iv)
Lùi vô hạn
v) Giả sử đến dãy $ n^{(l)}_k$ thì việc lùi vô hạn này dừng lại.
Dễ thấy khi nãy có 3 trường hợp xảy ra cho ku này:
Case 1: $n^{(l)}_k=0$ hết .
Case 2: $n^{(l)}_k=1$ hoặc $-2$ với mọi $k$
Case 3: $n^{(l)}_k=2$ hoặc $-1$ với mọi $k$.
(Post đặt gạch trước)
tích các số bằng nhau mà anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
i'll try my best.
quocbaoct10 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to quocbaoct10 For This Useful Post:
thiendieu96 (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 12:47 PM   #4
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Kelacloi View Post
) , vui thật . Em đang tính viết chuyên đề số học về bài Toán dạng này, ai dè giáo viên cho thi bà nó rồi. Buồn thiệt chứ, biết thế release trước cho anh em nó đọc

(Post đặt gạch trước)
Đề là tích các số bằng nhau nhé người ơi

Trích:
Nguyên văn bởi Lynk View Post
Mình xét được mỗi 2 trường hợp: Có ít nhất 4 số 0 và 2014 số bằng nhau
giống mình quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 12:52 PM   #5
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
Uhm , tưởng Tổng. Nếu Tổng thì thú vị .
------------------------------
Trắng ra mà nói thì tổng với tích cũng chẳng ảnh hưởng gì đến lời giải trên, chỉ việc tổng quát lời giải trên lên 1 tí là được , nhưng vì nó không phù hợp với topic nên ko cung cấp
Quay lại bài Toán .

Xét 2 trường hợp :
Trường hợp 1 có ít nhất 1 số bằng $0$
Ta lần lượt suy ra:
i) Có ít nhất 3 số bằng 0
ii) Có ít nhất 4 số bằng 0.
Suy ra 1 bộ nghiệm
Trường hợp 2 không có số nào bằng 0.
ta đưa bài Toán về số nguyên , rồi tiếp tục.
Gọi các số đó là $x_1,..,x_{2014}$
Đặt $P= \prod_{i=1}^{2014} x_i$.
Ta thấy $\frac{P}{x_i}$ đều là số lập phương , bởi thế:
$\exists n_1 \in \mathbb{N}, x^{(1)}_k: x_i=n_1.[ x^{(1)}_k]^3$
Tiếp theo là lùi vô hạn.
Dễ thấy việc lùi vô hạn chỉ dừng lại khi tất cả các số đều đều mang giá trị $1$ hoặc $-1$.

việc còn lại chỉ tính số lượng của các số sao cho phù hợp là được .Hết bài :v
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: Kelacloi, 04-01-2014 lúc 02:41 PM Lý do: Tự động gộp bài
Kelacloi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to Kelacloi For This Useful Post:
hoangqnvip (04-01-2014), huynhcongbang (04-01-2014), quocbaoct10 (04-01-2014), tangchauphong (04-01-2014), vinhhop.qt (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 01:08 PM   #6
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,155
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Mình nghe bạn kien10A1 nói kết quả bài này là:

(1) 4 số bằng 0, 2010 số hữu tỉ tùy ý.
(2) 2014 số có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trong đó có 0 hoặc ít nhất 3 số âm, có 0 hoặc có ít nhất 3 số dương.

Gọi $a_1,a_2,...,a_{2014}$ là các số cần tìm.

Mình có 1 số phân tích nhỏ thế này:
Nếu có 1, 2 hoặc 3 số bằng 0 thì khi loại đi số 0 đó, các số còn lại sẽ không thể chia được thành 3 bộ có tích bằng nhau (vì chắc chắn sẽ có ít nhất 1 tích khác 0, 1 tích bằng 0).
Như thế ta có 2 trường hợp:
- Nếu có ít nhất 4 số 0 thì dễ thấy điều kiện bài toán sẽ được thỏa mãn.
- Nếu tất cả các số đó đều khác 0 thì đặt $P$ là tích của chúng. Khi đó, $ \dfrac{P}{a_{i}} $ với mọi $i=1,2,3,...,2014$ đều là lũy thừa bậc 3 của một số hữu tỉ. Theo một cách nào đó có thể áp dụng trường hợp tổng (là dạng quen thuộc hơn, trong cuốn Titu cũng có bài tương tự) như bạn Kelacloai đã sử dụng để lập luận.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 04-01-2014 lúc 01:14 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
quocbaoct10 (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 01:35 PM   #7
DogLover
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gởi: 13
Thanks: 9
Thanked 12 Times in 7 Posts
Bài này xét số hữu tỉ cũng như số nguyên nên xét 2014 số nguyên luôn.
Trường hợp có $\geq 4$ số bằng 0 thì dĩ nhiên là thỏa mãn. Trường hợp có $\leq 3$ số bằng 0 thì không thỏa.
Nếu không có số nào băng 0. Viết các số này dưới dạng thừa số nguyên tố và xét riêng số mũ của từng ước nguyên tố, cuối cùng đưa về trường hợp mà cả 2014 số đều là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó và chuyển bài toán từ tích các số sang tổng các số mũ.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DogLover is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to DogLover For This Useful Post:
hoangqnvip (04-01-2014), Kelacloi (04-01-2014), thiendieu96 (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 04:00 PM   #8
ahhungah
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gởi: 5
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi DogLover View Post
Bài này xét số hữu tỉ cũng như số nguyên nên xét 2014 số nguyên luôn.
Trường hợp có $\geq 4$ số bằng 0 thì dĩ nhiên là thỏa mãn. Trường hợp có $\leq 3$ số bằng 0 thì không thỏa.
Nếu không có số nào băng 0. Viết các số này dưới dạng thừa số nguyên tố và xét riêng số mũ của từng ước nguyên tố, cuối cùng đưa về trường hợp mà cả 2014 số đều là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó và chuyển bài toán từ tích các số sang tổng các số mũ.
giống mình ha ha, nhưng rút ra thành 2014 số nguyên nguyên tố cùng nhau, xét ra lũy thừa của thành phần nguyên tố luôn chia hết cho 3, rồi hết giờ =]]
ngồi viết câu ít điểm , 2 năm liền ra số câu 7, sao làm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ahhungah is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2014, 04:26 PM   #9
CSS-MU
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Bài gởi: 26
Thanks: 2
Thanked 100 Times in 16 Posts
Có một số ý mà mình thu được như sau.
Đầu tiên ta nhận thấy nếu số số $0$ ít nhất là $4$ thì thế nào cũng chia được. Như vậy số số $0$ $\ge 4$ là một đáp số.
Tiếp theo, nếu số số $0$ ít hơn hoặc bằng $3$ thì chỉ có thể xảy ra trường hợp không có số $0$ nào, vì chỉ cần loại một trong các số $0$ đang có thì không chia nhóm được. Như vậy ta quan tâm tới tình huống tất cả các số đều khác $0.$
Tiếp theo, ta có thể đưa bài toán về xét tất cả các số là số nguyên. Lý do là ta có thể nhân mỗi số với một số chia hết cho tất cả các mẫu số của các phân số. Khi đưa về các số nguyên, giống như trên ta cũng thấy rằng số số âm cần phải ít nhất là $3,$ hoặc chẳng có số âm nào cả, và tương tự cho các số dương. Ta có thể rút gọn bài toán về việc xét các số dương (mà thực chất là trị tuyệt đối của các số).
Với các số dương, xét phân tích tiêu chuẩn các số thì ta nhận thấy chỉ cần xét riêng từng ước nguyên tố một. Tức là có thể quy bài toán về như sau: cho $2014$ số nguyên không âm thỏa mãn nếu bỏ đi 1 số bất kỳ trong $2014$ số này thì ta có thể các số còn lại thành 3 nhóm, mỗi nhóm $671$ số sao cho tổng các số trong mỗi nhóm là như nhau. Chứng minh rằng tất cả các số bằng nhau. Bài toán tới đây có thể lập luận giống như anh Kelacloi phân tích, và đáp số ra như anh kien10a1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Đời vô đối...
CSS-MU is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to CSS-MU For This Useful Post:
huynhcongbang (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 04:57 PM   #10
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Bài này thực sự là không có nhiều vấn đề về hướng giải, nhưng lại đòi hỏi việc xử lí kĩ thuật và khả năng bao quát đầy đủ trường hợp.
Tóm tắt lời giải trường hơp tích khác 0
Ta xét trường hợp không có số 0 nào, trước tiên nếu đổi mỗi số thành trị tuyệt đối của nó thì vẫn thỏa yêu cầu bài toán.
Nhân tất cả các số hữu tỉ này với M tự nhiên thích hợp ta thu được 2014 số nguyên dương $x_1,x_2,...x_{2014} $ nguyên dương thỏa đề bài.
Nhận xét 1: các số $x_i $ đều có chung tập ước nguyên tố.
CM: giả sử phản chứng rằng tồn tại p nguyên tố mà $x_1,..,x_k $ chia hết cho p, và $2014-k $ số còn lại không là bội của p.
Gọi số mũ của p trong khai triển của $x_i $ là $y_i $
Từ giả thiết, loại $x_{k+1} $ ra ngoài dễ suy ra $y_1+y_2+...+y_n \vdots 3 $
loại đi $x_i $ bất kỳ với$ i=1,2...,k $ thì ta sẽ suy ra $y_i \vdots 3 $ với mọi i .
Rõ ràng là nếu ta thay $y_i $ bởi $\frac{y_i}{3} $ trong từng số $x_i $ thì vẫn thỏa yêu cầu bài toán.
Tiếp tục như vậy ta suy ra $ y_i \vdots 3^n $ ( vô lý)
Nhận xét 2: Với p nguyên tố bất kỳ, số mũ trong của p trong khai triển các $x_i $ là như nhau.
Tương tự như trên, lần này ta chỉ suy ra các $y_i $ đồng dư với nhau mod 3, giả sử là cùng đồng dư với $ r $.
Ta thay $y_i $ bởi $\frac{y_i-r}{3} $, lại có các số thỏa mãn, tiếp tục quá trình làm lùi dãy $y_i $.
Quá trình này phải dừng, suy ra các giá trị $y_i $ ban đầu bằng nhau.
Như vậy là đủ để suy ra 2014 số ban đầu có giá trị tuyệt đối bằng nhau, giả sử là cùng bằng t.
Nhận xét 3: Giả sử số số dương nhiều hơn số số âm thì có 0 hoặc nhiều hơn 2 số âm.
Thật vậy, nếu chỉ có đúng một hoặc 2 số âm, loại đi một số t, 2013 số còn lại không chia được thỏa mãn.
Giả sử có m số $-t (1007\geqslant m\geqslant 3) $
Nếu m lẻ. Xét việc loại ra 1 số t, rõ ràng có $a,b,c\leqslant 671 $ mà a,b,c đều lẻ và a+b+c=m, ta chia ra 3 nhóm, mỗi nhóm lần lượt có a,b,c số -t
Nếu số bị loại là -t, hoàn toàn tương tự chọn a,b,c chẵn mà $a+b+c=m-1 $
Tương tự nếu m chẵn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu

thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 04-01-2014 lúc 05:01 PM
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
dangvip123tb (07-01-2014), huynhcongbang (04-01-2014), quocbaoct10 (04-01-2014), Trànvănđức (04-01-2014)
Old 04-01-2014, 05:03 PM   #11
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,155
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Nếu chi tiết hơn nữa thì là thế này:




[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
quocbaoct10 (04-01-2014), Thmcuongvn (04-01-2014)
Old 05-01-2014, 04:38 AM   #12
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Tham khảo cho trường hợp tổng quát:

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post:
huynhcongbang (05-01-2014), nghiepdu-socap (05-01-2014), nqt (05-01-2014), quocbaoct10 (05-01-2014)
Old 05-01-2014, 01:44 PM   #13
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
Cái bài viết về bài Toán này hồi bữa tính đưa (Ý là bài tổng quát á )
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Kelacloi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Kelacloi For This Useful Post:
huynhcongbang (05-01-2014)
Old 05-01-2014, 02:03 PM   #14
hung_020297
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Đến từ: thanh hoa roi
Bài gởi: 45
Thanks: 15
Thanked 1 Time in 1 Post
Anh đưa sớm mấy bữa thì may mắn hơn rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hung_020297 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-01-2014, 02:16 PM   #15
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
TT^TT, anh nào biết anh nào có hay TT^TT, tại bài này cũng xưa lắm rồi.Ai dè Bộ giáo dục tổng quát lên 1 tí rồi đưa vào TT^TT
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Kelacloi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:30 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 115.81 k/132.35 k (12.50%)]