Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Thảo Luận Về Giáo Dục, Văn Hóa, Cộng Đồng Toán Học > Lịch Sử Toán

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 23-11-2014, 11:55 PM   #1
Newmath.
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gởi: 95
Thanks: 18
Thanked 32 Times in 27 Posts
Tôpô vi phân 4 chiều

Tinh dịch một đoạn trong chương 3 của cuốn "The shape of inner space" của GS Shing Tung Yau.
----------------------------------------------

Mục tiêu của các nhà Tôpô là phân loại các không gian, đặc biệt là các đa tạp, với số chiều cho trước (Một đa tạp là một không gian hay một mặt với chiều tùy ý. Ta sẽ sử dụng các thuật ngữ này với cùng 1 nghĩa). Các nhà Tôpô cố sắp xếp các không gian có chung cấu trúc cơ bản vào một họ, mặc dù các không gian này có thể rất khác nhau ở vẻ bề ngoài hoặc ở một cấu trúc cụ thể nào đó. Các mặt 2 chiều compact (tức là đóng và bị chặn) định hướng được (tức là ta phân biệt được mặt trong và mặt ngoài) có thể phân loại bằng số các “lỗ thủng” của chúng. Mặt xuyến hay cái bánh vừng vòng có ít nhất 1 lỗ thủng, trong khi các mặt cầu tô pô thì không. Nếu 2 mặt có số lỗ thủng bằng nhau, thì dù rất tôn trọng sự khác biệt giữa chúng, chúng là tương đương dưới con mắt của một nhà Tôpô.

(Như vậy, cái cốc café và cái bánh vừng vòng đều là các mặt xuyến với giống là 1. Nếu bạn thích uống sữa với bánh vừng vòng, thì cái cốc thủy tinh bạn đang dùng là tương đương tôpô với một mặt cầu bị đục 1 lỗ ở cực bắc và sau đó chỉnh sửa hình dạng tí xíu).

Nếu như các mặt 2 chiều đã được hiểu rõ từ hơn 100 năm trước, thì với số chiều cao hơn các thách thức cũng lớn hơn. “Đáng chú ý là bài toán phân loại là dễ hơn với số chiều bằng 5 hoặc lớn hơn. Số chiều 3 và 4 thực sự khó hơn rất nhiều.”, nhà toán học John.D.S. John ở ĐH Warwick nói. Thật trùng hợp, đây cũng là những chiều quan trọng nhất trong Vật lý. Năm 1982, William Thurston trình làng một lược đồ phân loại trong đó các đa tạp 3 chiều được cắt thành từng mẩu, mỗi mẩu mang 1 trong 8 loại hình học. Giả thuyết này, được gọi là giả thuyết hình học hóa của Thurston, được chứng minh sau 2 thập kỉ. (Tôi sẽ nói về nó sau).

Cuộc hành quân vào thế giới 4 chiều diễn ra cùng thời điểm Thurston khởi xướng giả thuyết vĩ đại của ông. Các không gian 4 chiều không chỉ khó hình dung hơn mà về mặt toán học chúng cũng khó mô tả hơn các không gian 3 chiều. Một ví dụ về vật thể 4 chiều là một vật 3 chiều, chẳng hạn một quả bóng rổ với hình dạng biến đổi liên tục khi nó đập xuống nền (bị méo đi), nảy ngược trở lại và lại nở ra. Hình học của những cấu hình như vậy khá mơ hồ, nhưng chúng thực sự cần được nghiên cứu nếu như ta muốn hiểu rõ về không thời gian 4 chiều mà chúng ta đang sống.

Một tia sáng đến vào năm 1982 khi Simon Donaldson, khi đó mới chỉ là NCS năm thứ 2 ở Oxford , công bố một vài bài báo về cấu trúc của các không gian 4 chiều. Để mở một cánh cửa vào thế giới 4 chiều, Donaldson đã sử dụng các Phương trình đạo hàm riêng do các 2 nhà Vật lý là Chen Ning Yang (Dương Chấn Ninh) và Robert Mills đề xướng vào những năm 1950s. Các phương trình Yang-Mills này mô tả tương tác mạnh, là tương tác gắn kết các hạt quark với các gluon trong hạt nhân nguyên tử, trong khi đó tương tác yếu lien quan đến hiện tượng phóng xạ, còn tương tác điện từ tác động lên các hạt mang điện tích - những thứ có vẻ không ảnh hưởng gì đến không gian 4 chiều. Thay cho việc cố gắng giải những phương trình Y-M, một công việc hiển nhiên đòi hỏi phải khai thác những đặc trưng về hình học và tôpô của không gian nền tảng, Donaldson đã đặt ngược lại vấn đề: Lời giải của các phương trình Y-M, Donaldson lập luận, sẽ mang đến những thông tin về không gian 4 chiều mà chúng tác động lên. Đặc biệt hơn nữa, những lời giải đó đem đến những đặc trưng cự kì quan trọng – những cái mà các nhà toán học gọi là các bất biến – dùng để xác định 2 cấu hình 4 chiều cho trước có cùng một loại hay không.

Công trình của Donaldson không chỉ tỏa sáng với các bất biến mà ông tìm thấy, mà còn bất ngờ hé lộ ra một vấn đề bí ẩn: Đó là một lớp các không gian exotic (kì lạ) chỉ xuất hiện khi số chiều là 4. Để hiểu “kì lạ” có nghĩa là gì, chúng ta cần hiểu thế nào là 2 mặt hay 2 đa tạp tương đương với nhau. Các nhà toán học có nhiều cách khác nhau để so sánh 2 đa tạp. Thứ nhất là nếu chúng tương đương với nhau về mặt Tôpô. Ta có thể lấy ví dụ về 2 quả bóng rổ có thể biến thành giống hệt nhau bằng cách bơm lượng khí vào bên trong như nhau. Ta nói 2 khối hình là đồng phôi hay tương đương Tôpô nếu ta có thể biến khối hình này thành khối hình kia bằng cách gập, vặn, xoắn nhưng không được cắt rời. Biến đa tạp này thành đa tạp kia theo cách trên gọi là biến đổi 1-1 liên tục. Đó là một ánh xạ một đối một, tức là nó biến một điểm đơn trên đa tạp này thành một điểm đơn trên đa tạp kia. Hơn nữa, nếu 2 điểm là gần nhau trên đa tạp này thì cũng được biến thành 2 điểm gần nhau trên đa tạp kia.

Còn có một cách khác để so sánh các đa tạp với các yêu cầu tinh tế và nghiêm ngặt hơn chút xíu. Trong cách so sánh này, yêu cầu đặt ra là cách biến đổi đa tạp này thành đa tạp kia phải trơn tru mêm mại, tức là không được xuất hiện các điểm mà các nhà toán học gọi là các kì dị, chẳng hạn các như các điểm góc hay những mũi sắc nhọn. Các đa tạp tương đương nhau theo nghĩa này được gọi là vi phôi với nhau. Một cách định lượng, một ánh xạ đem bạn từ một đa tạp sang đa tạp khác – cái mà biến một tập tọa độ trong một không gian thành một tập tọa độ trong một không gian khác – phải là một ánh xạ trơn, tức là ta có thể lấy đạo hàm tại bất kì điểm nào và với một số lần tùy ý. Đồ thị của những hàm này không có những điểm sắc nhọn hay những đường dốc đột ngột, và điều đó chính là ý nghĩa của khái niệm khả vi.

Một ví dụ, bạn đặt một mặt cầu vào bên trong một ellipsoid, chẳng hạn một quả dưa hấu lớn, sao cho tâm của chúng trùng nhau. Nếu để đường kính của mặt cầu chạy tuốt ra ngoài theo mọi hướng, nó sẽ gán 1 điểm trên mặt cầu với 1 điểm trên mặt quả dưa hấu, hơn nữa tất cả các cặp đó đều là các cặp điểm đơn. Phép tương ứng (ánh xạ) này không những là 1-1 liên tục, mà còn là trơn. Ánh xạ này không có gì đặc biệt, dựa trên các đường thẳng bình thường, ko có những đoạn gấp khúc, không có những điểm nhọn hay bất cứ thứ gì bất thường. Như vậu mặt cầu và ellipsoid là đồng phôi và vi phôi với nhau [bác Yau cố ý ko đả động đến chuyên vi phôi sẽ kéo theo đồng phôi, có lẽ vì ko muốn người đọc ko chuyên bị loạn ].

Nói đến cái gọi là mặt cầu kì lạ là nói đến một ví dụ khác thường. Một mặt cầu kì lạ là 1 đa tạp bảy chiều, có thể lấy đạo hàm của 1 hàm tại mọi điểm, không thể biến dạng một cách trơn tru thành mặt cầu 7 chiều thông thường mặc dù chúng có thể biến dạng lien tục 1-1 vào nhau. Nói cô đọng không gian này đồng phôi nhưng không vi phôi với mặt cầu 7 chiều thông thường. John Milnor được trao huy chương Fields chủ yếu là vì công trình thiết lập sự tồn tại của các mặt cầu kì lạ. Trước đó mọi người không tin tồn tại những không gian như vậy, đó là lí do vì sao nó đc gọi là “kì lạ”

Khi số chiều là 2, mặt phẳng Eclide có lẽ là không gian đơn giản nhất bạn có thể hình dung – một mặt phẳng trơn, giống như mặt một cái bàn giãn nở một cách vô hạn theo mọi hướng . Liệu một cái đĩa trong mặt phẳng có đồng phôi và vi phôi với mặt phẳng không? Có. Bạn có thể hình dung có một nhóm người đứng quanh cái đĩa, tay nắm chặt viền cái đĩa rồi chạy mải miết không dừng lại. Khi họ chạy dần ra vô cực, họ sẽ phủ liên tục 1-1 một lớp trang trí lên mặt phẳng. Họ thực sự đã tạo nên một phép tương đương tôpô. Cũng có thể hình dung ra phép kéo giãn này, bao gồm cả việc dịch chuyển các điểm theo hướng bán kính hướng ra ngoài, có thể khả vi hóa.

Các kết quả tương tự cũng đúng với số chiều 3, và với những số chiều khác bạn cũng thu được những kết quả tương tự, ngoại trừ trường hợp 4 chiều, nơi bạn có thể tìm thấy các đa tạp đồng phôi với một không gian Euclide phẳng nhưng không vi phôi với nó. Thực tế có vô hạn các đa tạp đồng phôi nhưng không vi phôi với không gian Euclide 4 chiều R^4.

Có những sự kiện khác thường và khó lí giải khi số chiều là 4. Chẳng hạn trong không thời gian 3+1 chiều “điện trường và từ trường nhìn giống hệt nhau,” Donaldson nói. “Khi số chiều khác 4, chúng là 2 đối tượng hình học khác biệt. Một cái là một tensor (một kiểu ma trận), cái còn lại là một vector, và bạn không thể so sánh chúng. Số chiều 4 là một số chiều đặc biệt mà với nó cả hai loại trường trên đều là vector. Các đối xứng xuất hiện trong trường hợp này là những thứ bạn không thể tìm thấy khi chuyển sang số chiều khác”.

Trên quan điểm thông thường, không ai hiểu vì sao thế giới 4 chiều lại đặc biệt đến thế, Donaldson nói thêm. Trước công trình của ông, chúng ta không biết tí gì “sự tương đương trơn” (là các phép vi phôi) khi số chiều là 4, mặc dù nhà toán học Michael Freeman (khi đó ở UC San Diego) đã tìm ra những phép tương đương tôpô 4 chiều sâu sắc (các phép đồng phôi). Sự phân loại tôpô tất cả các đa tạp 4 chiều của Freeman thực tế là bắt nguồn từ các công trình trước đó của Adrew Carlsson (hiện đang làm việc ở Yale).

Những thành tựu mới mẻ và sâu sắc của Donaldson có thể áp dụng vào bài toán cực khó là phân loại trơn (vi phôi) các đa tạp trơn 4 chiều, do đó đã mở ra một cánh cửa vốn đang bị đóng chặt. Trước khi ông lên tiếng, các đa tạp trơn 4 chiều là những thứ hầu như không thể động đến. Và mặc dù phần lớn các bí ẩn vẫn còn đó, ít nhất ta cũng đã biết mình cần bắt đầu từ chỗ nào. Mặt khác, cách tiếp cận của Donaldson thực sự rất phức tạp để có thể tính toán. Như nhà hình học Clifford Taubes ở Harvard đã nói “chúng tôi phải làm việc điên cuồng như những con chó để lấy thông tin từ nó [tức là từ phương trình Y-M]”.

Năm 1994, việc nghiên cứu hình học 4 chiều đạt được một bước tiến khi Edward Witten và nhà vật lý đồng sự của ông là Nathan Selberg đề xuất một phương pháp đơn giản hơn nhiều phương pháp của Donaldson. [Họ đưa ra môt phương trình mới gọi là phương trình Selberg – Witten để thay cho phương trình Y-M]. Phương pháp của họ đến từ một lý thuyết Vật lý hạt cơ bản được gọi là Siêu đối xứng, trong khi kĩ thuật của Donaldson là thuần túy hình học. “Phương trình mới này có tất cả những thông tin mà phương trình cũ có,” Taubes nói, “nhưng việc lấy các thông tin ấy có lẽ 1000 lân dễ hơn lấy từ phương trình cũ”. Cùng với nhiều người khác, Taubes đã sử dụng phương pháp của S–W ddeerr nâng cao hiểu biết của chúng ta về hình học 4 chiều, một thành công bước đầu nhưng là rất cần thiết để cho những câu hỏi thường gặp về không thời gian trong Thuyết tương đối tổng quát.

Với một lớp rộng lớn các đa tạp 4 chiều, Witten đã chỉ ra rằng số lượng lời giả cho phương trình S-W chỉ phụ thuộc vào tôpô của chúng. Sau đó Taubes chứng minh số lượng lời giải, được quyết định bởi tôpô của đa tạp, cũng bằng với số lượng các không gian con hay số lượng các đường cong có dạng cụ thể sao cho có thể đặt vừa vặn vào bên trong đa tạp. Biết được số lượng các đường cong cần thiết để lắp khít vào bên trong đa tạp sẽ cho phép bạn tìm hiểu về hình học của đa tạp, và việc thu được thông tin cũng dễ dàng hơn. Do đó, xét một cách công bằng thì định lý của Taubes là một tiến bộ lớn trong việc nghiên cứu lớp đa tạp này [chúng là các đa tạp symplectic].


Toàn bộ cuộc tham quan thế giới 4 chiều này, khởi nguồn từ việc quay trở lại với công trình vật lý của Yang và Mills trong thập niên 1950s, là một giai đoạn lạ lùng mà vẫn còn đang tiếp tục đến giờ, trong đó các ý tưởng từ Vật lý lần đầu tiên ảnh hưởng tới Toán học. Nguồn gốc vốn là ở trong Vật lý, lý thuyết Y-M đã được Hình học trợ giúp, từ đó thu được những hiểu biết sâu sắc hơn về loại lực gắn các hạt cơ bản lại với nhau. Quy trình này bị nhà Hình học Simon Donaldson đảo ngược khi ông sử dụng các phương trình Y-M để thu được các hiểu biết sâu sắc về hình học và tôpô của các không gian 4 chiều. Mô hình này, sự cho – nhận giữa Toán học và Vật lý, được Selberg, Witten và những người khác tiếp tục khai triển. Taubes tổng kết lại quãng thời gian sống động đó như sau “ Trong một lần ghé thăm, người ngoài hành tinh trao cho chúng ta các phương trình Y-M rồi bỏ đi. Chúng ta nghiên cứu chúng và kết quả là Lý thuyết Donaldson. Nhiều năm sau họ trở lại và trao cho chúng ta phương trình S-W”. Dù không dám chắc là Taubes nói đúng , nó vẫn là sự giải thích hợp lý nhất mà tôi từng biết.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Newmath. is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:37 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 51.51 k/54.78 k (5.97%)]