Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 03-11-2017, 05:47 AM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,155
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Về bài đa thức trong đề Hà Tĩnh 2017

Trước hết, mọi người có thể xem đề bài của bài toán này tại đây, post số 20.

http://mathscope.org/showthread.php?t=51387&page=2

Ý tưởng tìm liên hệ đẹp giữa 2 nghiệm xấu của các đa thức bậc 3 đã từng xuất hiện ở đề VMO 2003.

Chúng ta thử phân tích sâu hơn cũng như cách chế biến ra một bài như thế này.

Trước hết, ta chọn một đa thức bậc 3 đảm bảo có nghiệm duy nhất (xét hàm đồng biến cho dễ), chẳng hạn $P(x)=x^3+2x^2+3x+4$.
Thay $x$ bởi $1-x$, ta có $Q(x)=x^3-5x^2+10x-10$. Lại đổi biến $x$ thành $1/x$, ta có đa thức mới $R(x)=10x^3-10x^2+5x-1$.

Khi đó, nếu gọi $a,b$ lần lượt là nghiệm của $P(x), R(x)$ thì ta có $a+1/b=1$.

Tiếp theo, ta lại tìm đa thức nhận bình phương nghiệm của $P(x)$ là nghiệm của nó. Để thực hiện điều này, ta có thể dùng Viete thuận - đảo hoặc tiến hành như sau:

$$\begin{aligned}
& {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3x+4=0 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{3}}+3x=-(2{{x}^{2}}+4) \\
& \Rightarrow {{({{x}^{3}}+3x)}^{2}}={{(2{{x}^{2}}+4)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{6}}+6{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}=4{{x}^{4}}+16{{x}^ {2}}+16 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{6}}+2{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-16=0 \\
\end{aligned}$$

Từ đây suy ra đa thức $S(x)=x^3+2x^2-7x-16$ có nghiệm là $a^2$.

Bằng cách đó, ta có thể đặt ra bài toán khá lạ như sau:

Cho đa thức $R(x)=10x^3-10x^2+5x-1$ và $S(x)=x^3+2x^2-7x-16.$ Chứng minh rằng hai đa thức này có nghiệm thực duy nhất là $r,s$ và $\dfrac{1}{r} - \sqrt{s}=1$.

Để tìm ngược lại đa thức $P(x)$ từ $S(x)$, ta có thể đặt $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ rồi đồng nhất hệ số và giải hệ phương trình (không quá khó vì chúng ta có thể tin tưởng nghiệm này nguyên).


Dưới đây là bài toán trong đề Gặp gỡ Toán học 2017 vừa rồi. Mọi người tham khảo thêm:

Cho hai đa thức $P(x)={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+39x-46$ và $Q(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-3$.

a) Chứng minh rằng $P(x),Q(x)$ đều có các nghiệm dương duy nhất, đặt là $\alpha ,\beta $.

b) Chứng minh rằng $\{\alpha \}>{{\{\beta \}}^{2}}$, trong đó ký hiệu $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x.$

Lời giải. a) Trước hết, dễ thấy rằng $P(x),Q(x)$ đều là các hàm đồng biến và là các đa thức bậc lẻ nên chúng phải có nghiệm duy nhất. Ta có $P(1)P(2)<0$ và $Q(0)Q(1)<0$ nên $\alpha \in (1;2)$ và $\beta \in (0;1).$ Suy ra các nghiệm này đều dương.

b) Xét $R(x)=P(x+1)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+34x-10$ thì rõ ràng $R(x)$ cũng có nghiệm duy nhất là $a$ và $a=\alpha -1=\{\alpha \}$ vì $\alpha \in (1;2).$
Ta có $Q(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}+4x=3-3{{x}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}{{({{x}^{2}}+4)}^{2}}={{(3-3{{x}^{2}})}^{2}}$, khai triển và rút gọn, ta được ${{x}^{6}}-{{x}^{4}}+34{{x}^{2}}-9=0$. Từ đó suy ra đa thức $S(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+34x-9$ cũng có nghiệm duy nhất là $b$ và $b={{\beta }^{2}}={{\{\beta \}}^{2}}$ vì $\beta \in (0;1).$
Ta cần chứng minh rằng $\{\alpha \}>{{\{\beta \}}^{2}}$ hay $a>b$.
Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}-{{t}^{2}}+34t$ với $t\in \mathbb{R}$ thì vì ${f}'(t)=3{{t}^{2}}-2t+34>0$ nên $f$ đồng biến và $f(a)=10,f(b)=9$. Từ đó dẫn đến $a>b.$ Ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
buratinogigle (04-11-2017)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:23 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.50 k/44.85 k (7.47%)]