Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 16-11-2017, 10:07 PM   #1
L Wave
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2017
Bài gởi: 2
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Icon1 Đa thức số học

Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ có nghiệm nguyên và hằng số $k$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ thì $2^nP(n)+k$ luôn là số chính phương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
L Wave is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-11-2017, 01:51 PM   #2
2M
thảo dân
 
2M's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 188
Thanks: 106
Thanked 509 Times in 146 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi L Wave View Post
Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ có nghiệm nguyên và hằng số $k$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ thì $2^nP(n)+k$ luôn là số chính phương.
Từ giả thiết ta thấy rằng với mọi số nguyên tố $p$ thì tồn tại $n$ để $p\mid P(n)$, do đó $\left(\dfrac{k}{p}\right)=1$, nên
$$k=m^2;\;m\in\mathbb{N}.$$ Với trường hợp $P(x)\ne 0$ đặt $2^nP(n)+k=s_n^2\;\forall\,n\in\mathbb Z^+$, ta có
\[\left( {{s_n} - m} \right)\left( {{s_n} + m} \right) = {2^n}P\left( n \right)\]
Vì thế, ta thấy tồn tại các dãy số tự nhiên $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+},\,\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+},\;\left\{f_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+},\,\left\{g_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ thỏa
\[\begin{array}{l}
{s_n} + m = {2^{{a_n}}}{f_n}\\
{s_n} - m = {2^{{b_n}}}{g_n}
\end{array}\]
Ở đây $a_n+b_n=n$ và $f_ng_n=P(n)$ với mọi $n$, ta xét các trường hợp sau:
  • Nếu $a_n;\,b_n$ đều không bị chặn thì
    \[{\text{v}_2}\left( {2m} \right) = {\text{v}_2}\left( {{2^{{a_n}}}{f_n} - {2^{{b_n}}}{g_n}} \right) \ge \min \left( {{a_n};{\mkern 1mu} {b_n}} \right)\]
    Để có điều không thể xảy đến là $\text{v}_2(2m)$ lớn thỏa ý.

  • Nếu $a_n<c$ với hằng số $c$ nào đó với mọi $n$, thế thì có điều vô lý là
    \[2m = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{2^{{a_n}}}{f_n} - {2^{{b_n}}}{g_n}} \right) = - \infty \]
  • Nếu $b_n<c$ với hằng số $c$ nào đó với mọi $n$, thế thì có điều vô lý là
    \[2m = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{2^{{a_n}}}{f_n} - {2^{{b_n}}}{g_n}} \right) = + \infty \]
Vậy $P(x)=0$ và $k$ là số chính phương bất kỳ là kết quả của bài toán.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
./.
2M is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 2M For This Useful Post:
furin (22-11-2017)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
số học, đa thức

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:28 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 42.65 k/46.97 k (9.20%)]